Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1 = \sec^{2} (θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1$

Этап 2

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}} + 1$

Этап 3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \cos (θ)$ .

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}} + 1$

Этап 3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}{{\cos (θ)}^{2}} + \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ)) + {\cos (θ)}^{2}}{{\cos (θ)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 4

Перепишем $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ в виде $\sec^{2} (θ)$ .

$\sec^{2} (θ)$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + 1 = \sec^{2} (θ)$ — тождество