Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{5 x^{4} - 7}{2 x + 3}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{5 x^{4} - 7}{2 x + 3}$ не определено.

$x = - \frac{3}{2}$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 4$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Этап 5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Этап 5.3

Умножим новое частное на делитель.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

Этап 5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{4} + \frac{15 x^{3}}{2}$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

Этап 5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

Этап 5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

Этап 5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- \frac{15 x^{3}}{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

Этап 5.8

Умножим новое частное на делитель.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

Этап 5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- \frac{15 x^{3}}{2} - \frac{45 x^{2}}{4}$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

Этап 5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

Этап 5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

Этап 5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $\frac{45 x^{2}}{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

Этап 5.13

Умножим новое частное на делитель.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

Этап 5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $\frac{45 x^{2}}{4} + \frac{135 x}{8}$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

Этап 5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

Этап 5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

Этап 5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- \frac{135 x}{8}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$\frac{135}{16}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

Этап 5.18

Умножим новое частное на делитель.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$\frac{135}{16}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

$\frac{135 x}{8}$

$\frac{405}{16}$

Этап 5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- \frac{135 x}{8} - \frac{405}{16}$ .

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$\frac{135}{16}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

$\frac{135 x}{8}$

$\frac{405}{16}$

Этап 5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$\frac{5 x^{3}}{2}$

$\frac{15 x^{2}}{4}$

$\frac{45 x}{8}$

$\frac{135}{16}$

$2 x$

$3$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$0 x^{2}$

$\frac{15 x^{3}}{2}$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$0 x$

$\frac{45 x^{2}}{4}$

$\frac{135 x}{8}$

$7$

$\frac{135 x}{8}$

$\frac{405}{16}$

$\frac{293}{16}$

Этап 5.21

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{5 x^{3}}{2} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{45 x}{8} - \frac{135}{16} + \frac{293}{16 (2 x + 3)}$

Этап 5.22

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = \frac{5 x^{3}}{2} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{45 x}{8} - \frac{135}{16}$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{3}{2}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = \frac{5 x^{3}}{2} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{45 x}{8} - \frac{135}{16}$

Этап 7