Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ не определено.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 2

Поскольку $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ слева, а $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ справа, то $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$ — вертикальная асимптота.

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 3

Поскольку $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ слева, а $\frac{6 x^{5} - 3 x^{3} + 7 x - 3}{2 x^{2} - 3}$ $\to$ $\infty$ как $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ справа, то $x = \frac{\sqrt{6}}{2}$ — вертикальная асимптота.

$x = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 4

Перечислим все вертикальные асимптоты:

$x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}$

Этап 5

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 6

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 5$

$m = 2$

Этап 7

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 8

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

Этап 8.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x^{2}$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

Этап 8.3

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

Этап 8.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{5} + 0 - 9 x^{3}$ .

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

Этап 8.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

Этап 8.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

Этап 8.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x^{2}$ .

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

Этап 8.8

Умножим новое частное на делитель.

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

Этап 8.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{3} + 0 - 9 x$ .

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

Этап 8.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

$16 x$

Этап 8.11

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2 x^{2}$

$0 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$3$

$6 x^{5}$

$0$

$9 x^{3}$

$6 x^{3}$

$0 x^{2}$

$7 x$

$6 x^{3}$

$0$

$9 x$

$16 x$

$3$

Этап 8.12

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$3 x^{3} + 3 x + \frac{16 x - 3}{2 x^{2} - 3}$

Этап 8.13

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = 3 x^{3} + 3 x$

Этап 9

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - \frac{\sqrt{6}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = 3 x^{3} + 3 x$

Этап 10