Основы мат. анализа Примеры

${(3 x + \sqrt{3})}^{6}$

Этап 1

Используем формулу биномиального разложения, чтобы найти каждый член. Бином Ньютона имеет вид ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{6} \frac{6!}{(6 - k)! k!} \cdot {(3 x)}^{6 - k} \cdot {(\sqrt{3})}^{k}$

Этап 2

Развернем сумму.

$\frac{6!}{(6 - 0)! 0!} \cdot {(3 x)}^{6 - 0} \cdot {(\sqrt{3})}^{0} + \frac{6!}{(6 - 1)! 1!} \cdot {(3 x)}^{6 - 1} \cdot {(\sqrt{3})}^{1} + \dots + \frac{6!}{(6 - 6)! 6!} \cdot {(3 x)}^{6 - 6} \cdot {(\sqrt{3})}^{6}$

Этап 3

Упростим экспоненты для каждого члена разложения.

$1 \cdot {(3 x)}^{6} \cdot {(\sqrt{3})}^{0} + 6 \cdot {(3 x)}^{5} \cdot {(\sqrt{3})}^{1} + \dots + 1 \cdot {(3 x)}^{0} \cdot {(\sqrt{3})}^{6}$

Этап 4

Упростим итоговый многочлен.

$729 x^{6} + 1458 x^{5} \sqrt{3} + 3645 x^{4} + 1620 x^{3} \sqrt{3} + 1215 x^{2} + 162 x \sqrt{3} + 27$