Основы мат. анализа Примеры

$\log_{3} (a - 2) + \log_{3} (a - 2) = 2$

Этап 1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((a - 2) (a - 2)) = 2$

Этап 1.2

Развернем $(a - 2) (a - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (a (a - 2) - 2 (a - 2)) = 2$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (a \cdot a + a \cdot - 2 - 2 (a - 2)) = 2$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{3} (a \cdot a + a \cdot - 2 - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $a$ на $a$ .

$\log_{3} (a^{2} + a \cdot - 2 - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $a$ .

$\log_{3} (a^{2} - 2 \cdot a - 2 a - 2 \cdot - 2) = 2$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$\log_{3} (a^{2} - 2 a - 2 a + 4) = 2$

Этап 1.3.2

Вычтем $2 a$ из $- 2 a$ .

$\log_{3} (a^{2} - 4 a + 4) = 2$

Этап 2

Перепишем $\log_{3} (a^{2} - 4 a + 4) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$3^{2} = a^{2} - 4 a + 4$

Этап 3

Решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $a^{2} - 4 a + 4 = 3^{2}$ .

$a^{2} - 4 a + 4 = 3^{2}$

Этап 3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$a^{2} - 4 a + 4 = 9$

Этап 3.3

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$a^{2} - 4 a + 4 - 9 = 0$

Этап 3.4

Вычтем $9$ из $4$ .

$a^{2} - 4 a - 5 = 0$

Этап 3.5

Разложим $a^{2} - 4 a - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 3.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(a - 5) (a + 1) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$a - 5 = 0$

$a + 1 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $a - 5$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $a - 5$ к $0$ .

$a - 5 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$a = 5$

Этап 3.8

Приравняем $a + 1$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $a + 1$ к $0$ .

$a + 1 = 0$

Этап 3.8.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$a = - 1$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(a - 5) (a + 1) = 0$ верно.

$a = 5, - 1$

Этап 4

Исключим решения, которые не делают $\log_{3} (a - 2) + \log_{3} (a - 2) = 2$ истинным.

$a = 5$