Основы мат. анализа Примеры

$7 + 42 \cdot 3^{2 - 3 a} = 14 \cdot 3^{- 2 a} + 7$

Этап 1

Вычтем $14 \cdot 3^{- 2 a}$ из обеих частей уравнения.

$7 + 42 \cdot 3^{2 - 3 a} - 14 \cdot 3^{- 2 a} = 7$

Этап 2

Перепишем $3^{2 - 3 a}$ в виде $3^{2} \cdot 3^{- 3 a}$ .

$7 + 42 \cdot (3^{2} \cdot 3^{- 3 a}) - 14 \cdot 3^{- 2 a} = 7$

Этап 3

Перепишем $3^{- 3 a}$ в виде степенного выражения.

$7 + 42 \cdot (3^{2} \cdot {(3^{a})}^{- 3}) - 14 \cdot 3^{- 2 a} = 7$

Этап 4

Перепишем $3^{- 2 a}$ в виде степенного выражения.

$7 + 42 \cdot (3^{2} \cdot {(3^{a})}^{- 3}) - 14 \cdot {(3^{a})}^{- 2} = 7$

Этап 5

Умножим $- 14$ на ${3^{a}}^{- 2}$ .

$7 + 42 \cdot (3^{2} {(3^{a})}^{- 3}) - 14 {(3^{a})}^{- 2} = 7$

Этап 6

Подставим $u$ вместо $3^{a}$ .

$7 + 42 \cdot (3^{2} u^{- 3}) - 14 u^{- 2} = 7$

Этап 7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$7 + 42 \cdot (9 u^{- 3}) - 14 u^{- 2} = 7$

Этап 7.2

Умножим $42$ на $9$ .

$7 + 378 u^{- 3} - 14 u^{- 2} = 7$

Этап 7.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 + 378 (\frac{1}{u^{3}}) - 14 u^{- 2} = 7$

Этап 7.4

Объединим $378$ и $\frac{1}{u^{3}}$ .

$7 + \frac{378}{u^{3}} - 14 u^{- 2} = 7$

Этап 7.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 + \frac{378}{u^{3}} - 14 \frac{1}{u^{2}} = 7$

Этап 7.6

Объединим $- 14$ и $\frac{1}{u^{2}}$ .

$7 + \frac{378}{u^{3}} + \frac{- 14}{u^{2}} = 7$

Этап 7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$7 + \frac{378}{u^{3}} - \frac{14}{u^{2}} = 7$

Этап 8

Решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$1, u^{3}, u^{2}, 1$

Этап 8.1.2

Так как $1, u^{3}, u^{2}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 1, 1, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $u^{3}, u^{2}$ .

Этап 8.1.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 8.1.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 8.1.5

НОК $1, 1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 8.1.6

Множители $u^{3}$ — $u \cdot u \cdot u$ , то есть $u$ , умноженный сам на себя $3$ раз.

$u^{3} = u \cdot u \cdot u$

$u$ встречается $3$ раз.

Этап 8.1.7

Множители $u^{2}$ — $u \cdot u$ , то есть $u$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$u^{2} = u \cdot u$

$u$ встречается $2$ раз.

Этап 8.1.8

НОК $u^{3}, u^{2}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$u \cdot u \cdot u$

Этап 8.1.9

Упростим $u \cdot u \cdot u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.9.1

Умножим $u$ на $u$ .

$u^{2} \cdot u$

Этап 8.1.9.2

Умножим $u^{2}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.9.2.1

Умножим $u^{2}$ на $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.9.2.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$u^{2} \cdot u^{1}$

Этап 8.1.9.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u^{2 + 1}$

Этап 8.1.9.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$u^{3}$

Этап 8.2

Каждый член в $7 + \frac{378}{u^{3}} - \frac{14}{u^{2}} = 7$ умножим на $u^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим каждый член $7 + \frac{378}{u^{3}} - \frac{14}{u^{2}} = 7$ на $u^{3}$ .

$7 u^{3} + \frac{378}{u^{3}} u^{3} - \frac{14}{u^{2}} u^{3} = 7 u^{3}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель $u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$7 u^{3} + \frac{378}{u^{3}} u^{3} - \frac{14}{u^{2}} u^{3} = 7 u^{3}$

Этап 8.2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$7 u^{3} + 378 - \frac{14}{u^{2}} u^{3} = 7 u^{3}$

Этап 8.2.2.1.2

Сократим общий множитель $u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{14}{u^{2}}$ в числитель.

$7 u^{3} + 378 + \frac{- 14}{u^{2}} u^{3} = 7 u^{3}$

Этап 8.2.2.1.2.2

Вынесем множитель $u^{2}$ из $u^{3}$ .

$7 u^{3} + 378 + \frac{- 14}{u^{2}} (u^{2} u) = 7 u^{3}$

Этап 8.2.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$7 u^{3} + 378 + \frac{- 14}{u^{2}} (u^{2} u) = 7 u^{3}$

Этап 8.2.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$7 u^{3} + 378 - 14 u = 7 u^{3}$

Этап 8.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перенесем все члены с $u$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вычтем $7 u^{3}$ из обеих частей уравнения.

$7 u^{3} + 378 - 14 u - 7 u^{3} = 0$

Этап 8.3.1.2

Объединим противоположные члены в $7 u^{3} + 378 - 14 u - 7 u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Вычтем $7 u^{3}$ из $7 u^{3}$ .

$378 - 14 u + 0 = 0$

Этап 8.3.1.2.2

Добавим $378 - 14 u$ и $0$ .

$378 - 14 u = 0$

Этап 8.3.2

Вычтем $378$ из обеих частей уравнения.

$- 14 u = - 378$

Этап 8.3.3

Разделим каждый член $- 14 u = - 378$ на $- 14$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Разделим каждый член $- 14 u = - 378$ на $- 14$ .

$\frac{- 14 u}{- 14} = \frac{- 378}{- 14}$

Этап 8.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 14 u}{- 14} = \frac{- 378}{- 14}$

Этап 8.3.3.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 378}{- 14}$

Этап 8.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.3.1

Разделим $- 378$ на $- 14$ .

$u = 27$

Этап 9

Подставим $27$ вместо $u$ в $u = 3^{a}$ .

$27 = 3^{a}$

Этап 10

Решим $27 = 3^{a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $3^{a} = 27$ .

$3^{a} = 27$

Этап 10.2

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$3^{a} = 3^{3}$

Этап 10.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$a = 3$