Основы мат. анализа Примеры

${(a^{3})}^{- 1} = \frac{1}{216}$

Этап 1

Упростим обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перемножим экспоненты в ${(a^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$a^{3 \cdot - 1} = \frac{1}{216}$

Этап 1.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$a^{- 3} = \frac{1}{216}$

Этап 1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{a^{3}} = \frac{1}{216}$

Этап 2

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй дроби. Приравняем результат к произведению знаменателя первой дроби и числителя второй дроби.

$1 \cdot 216 = a^{3} \cdot 1$

Этап 3

Решим уравнение относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $a^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 216$ .

$a^{3} \cdot 1 = 1 \cdot 216$

Этап 3.2

Умножим $a^{3}$ на $1$ .

$a^{3} = 1 \cdot 216$

Этап 3.3

Умножим $216$ на $1$ .

$a^{3} = 216$

Этап 3.4

Вычтем $216$ из обеих частей уравнения.

$a^{3} - 216 = 0$

Этап 3.5

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $216$ в виде $6^{3}$ .

$a^{3} - 6^{3} = 0$

Этап 3.5.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = a$ и $b = 6$ .

$(a - 6) (a^{2} + a \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Этап 3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Перенесем $6$ влево от $a$ .

$(a - 6) (a^{2} + 6 a + 6^{2}) = 0$

Этап 3.5.3.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$(a - 6) (a^{2} + 6 a + 36) = 0$

Этап 3.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$a - 6 = 0$

$a^{2} + 6 a + 36 = 0$

Этап 3.7

Приравняем $a - 6$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $a - 6$ к $0$ .

$a - 6 = 0$

Этап 3.7.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$a = 6$

Этап 3.8

Приравняем $a^{2} + 6 a + 36$ к $0$ , затем решим относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Приравняем $a^{2} + 6 a + 36$ к $0$ .

$a^{2} + 6 a + 36 = 0$

Этап 3.8.2

Решим $a^{2} + 6 a + 36 = 0$ относительно $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.8.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 6$ и $c = 36$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $a$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $36$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.3

Вычтем $144$ из $36$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.4

Перепишем $- 108$ в виде $- 1 (108)$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (108)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$a = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$a = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.7

Перепишем $108$ в виде $6^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $36$ из $108$ .

$a = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.7.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$a = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$a = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.1.9

Перенесем $6$ влево от $i$ .

$a = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.8.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$a = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3.8.2.3.3

Упростим $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$a = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

Этап 3.8.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$a = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

Этап 3.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(a - 6) (a^{2} + 6 a + 36) = 0$ верно.

$a = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$