Основы мат. анализа Примеры

$\frac{5}{6} = \frac{2 m}{2 m + 2} - \frac{1}{3 m - 3}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2 m}{2 m + 2} - \frac{1}{3 m - 3} = \frac{5}{6}$ .

$\frac{2 m}{2 m + 2} - \frac{1}{3 m - 3} = \frac{5}{6}$

Этап 2

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 m + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 m$ .

$\frac{2 m}{2 (m) + 2} - \frac{1}{3 m - 3} = \frac{5}{6}$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 m}{2 (m) + 2 (1)} - \frac{1}{3 m - 3} = \frac{5}{6}$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (m) + 2 (1)$ .

$\frac{2 m}{2 (m + 1)} - \frac{1}{3 m - 3} = \frac{5}{6}$

Этап 2.2

Сократим выражение $\frac{2 m}{2 (m + 1)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 m}{2 (m + 1)} - \frac{1}{3 m - 3} = \frac{5}{6}$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{m}{m + 1} - \frac{1}{3 m - 3} = \frac{5}{6}$

Этап 2.3

Вынесем множитель $3$ из $3 m - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 m$ .

$\frac{m}{m + 1} - \frac{1}{3 (m) - 3} = \frac{5}{6}$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{m}{m + 1} - \frac{1}{3 (m) + 3 (- 1)} = \frac{5}{6}$

Этап 2.3.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (m) + 3 (- 1)$ .

$\frac{m}{m + 1} - \frac{1}{3 (m - 1)} = \frac{5}{6}$

Этап 3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$m + 1, 3 (m - 1), 6$

Этап 3.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 3.5

У $6$ есть множители: $2$ и $3$ .

$2 \cdot 3$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 3.7

Множителем $m + 1$ является само значение $m + 1$ .

$(m + 1) = m + 1$

$(m + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.8

Множителем $m - 1$ является само значение $m - 1$ .

$(m - 1) = m - 1$

$(m - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 3.9

НОК $m + 1, m - 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(m + 1) (m - 1)$

Этап 3.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$6 (m + 1) (m - 1)$

Этап 4

Каждый член в $\frac{m}{m + 1} - \frac{1}{3 (m - 1)} = \frac{5}{6}$ умножим на $6 (m + 1) (m - 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим каждый член $\frac{m}{m + 1} - \frac{1}{3 (m - 1)} = \frac{5}{6}$ на $6 (m + 1) (m - 1)$ .

$\frac{m}{m + 1} (6 (m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 \frac{m}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.1.2

Объединим $6$ и $\frac{m}{m + 1}$ .

$\frac{6 m}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.1.3

Сократим общий множитель $m + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 m}{m + 1} ((m + 1) (m - 1)) - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$6 m (m - 1) - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 m \cdot m + 6 m \cdot - 1 - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.1.5

Умножим $m$ на $m$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Перенесем $m$ .

$6 (m \cdot m) + 6 m \cdot - 1 - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.1.5.2

Умножим $m$ на $m$ .

$6 m^{2} + 6 m \cdot - 1 - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.1.6

Умножим $- 1$ на $6$ .

$6 m^{2} - 6 m - \frac{1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.1.7

Сократим общий множитель $3 (m - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3 (m - 1)}$ в числитель.

$6 m^{2} - 6 m + \frac{- 1}{3 (m - 1)} (6 (m + 1) (m - 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.1.7.2

Вынесем множитель $3 (m - 1)$ из $6 (m + 1) (m - 1)$ .

$6 m^{2} - 6 m + \frac{- 1}{3 (m - 1)} (3 (m - 1) (2 (m + 1))) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.1.7.3

Сократим общий множитель.

$6 m^{2} - 6 m + \frac{- 1}{3 (m - 1)} (3 (m - 1) (2 (m + 1))) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.1.7.4

Перепишем это выражение.

$6 m^{2} - 6 m - (2 (m + 1)) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.1.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$6 m^{2} - 6 m - 2 (m + 1) = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$6 m^{2} - 6 m - 2 m - 2 \cdot 1 = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.1.10

Умножим $- 2$ на $1$ .

$6 m^{2} - 6 m - 2 m - 2 = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.2.2

Вычтем $2 m$ из $- 6 m$ .

$6 m^{2} - 8 m - 2 = \frac{5}{6} (6 (m + 1) (m - 1))$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 (m + 1) (m - 1)$ .

$6 m^{2} - 8 m - 2 = \frac{5}{6} (6 ((m + 1) (m - 1)))$

Этап 4.3.1.2

Сократим общий множитель.

$6 m^{2} - 8 m - 2 = \frac{5}{6} (6 ((m + 1) (m - 1)))$

Этап 4.3.1.3

Перепишем это выражение.

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 ((m + 1) (m - 1))$

Этап 4.3.2

Развернем $(m + 1) (m - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m (m - 1) + 1 (m - 1))$

Этап 4.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m \cdot m + m \cdot - 1 + 1 (m - 1))$

Этап 4.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m \cdot m + m \cdot - 1 + 1 m + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Умножим $m$ на $m$ .

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m^{2} + m \cdot - 1 + 1 m + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $m$ .

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m^{2} - 1 \cdot m + 1 m + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.3.1.3

Перепишем $- 1 m$ в виде $- m$ .

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m^{2} - m + 1 m + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.3.1.4

Умножим $m$ на $1$ .

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m^{2} - m + m + 1 \cdot - 1)$

Этап 4.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m^{2} - m + m - 1)$

Этап 4.3.3.2

Добавим $- m$ и $m$ .

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m^{2} + 0 - 1)$

Этап 4.3.3.3

Добавим $m^{2}$ и $0$ .

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 (m^{2} - 1)$

Этап 4.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 m^{2} + 5 \cdot - 1$

Этап 4.3.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$6 m^{2} - 8 m - 2 = 5 m^{2} - 5$

Этап 5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с $m$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $5 m^{2}$ из обеих частей уравнения.

$6 m^{2} - 8 m - 2 - 5 m^{2} = - 5$

Этап 5.1.2

Вычтем $5 m^{2}$ из $6 m^{2}$ .

$m^{2} - 8 m - 2 = - 5$

Этап 5.2

Перенесем все члены в левую часть уравнения и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$m^{2} - 8 m - 2 + 5 = 0$

Этап 5.2.2

Добавим $- 2$ и $5$ .

$m^{2} - 8 m + 3 = 0$

Этап 5.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 8$ и $c = 3$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $m$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $3$ .

$m = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.1.3

Вычтем $12$ из $64$ .

$m = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.1.4

Перепишем $52$ в виде $2^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $52$ .

$m = \frac{8 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$m = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$m = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$m = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$

Этап 5.5.3

Упростим $\frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{2}$ .

$m = 4 \pm \sqrt{13}$

Этап 5.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$m = 4 + \sqrt{13}, 4 - \sqrt{13}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$m = 4 + \sqrt{13}, 4 - \sqrt{13}$

Десятичная форма:

$m = 7.60555127 \dots, 0.39444872 \dots$