Основы мат. анализа Примеры

${(z^{2} + 8 z)}^{2} + 23 (z^{2} + 8 z) + 112 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = z^{2} + 8 z$ . Подставим $u$ вместо $z^{2} + 8 z$ для всех.

$u^{2} + 23 u + 112 = 0$

Этап 1.2

Разложим $u^{2} + 23 u + 112$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $112$ , а сумма — $23$ .

$7, 16$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u + 7) (u + 16) = 0$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $z^{2} + 8 z$ .

$(z^{2} + 8 z + 7) (z^{2} + 8 z + 16) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$z^{2} + 8 z + 7 = 0$

$z^{2} + 8 z + 16 = 0$

Этап 3

Приравняем $z^{2} + 8 z + 7$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $z^{2} + 8 z + 7$ к $0$ .

$z^{2} + 8 z + 7 = 0$

Этап 3.2

Решим $z^{2} + 8 z + 7 = 0$ относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим $z^{2} + 8 z + 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $7$ , а сумма — $8$ .

$1, 7$

Этап 3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(z + 1) (z + 7) = 0$

Этап 3.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$z + 1 = 0$

$z + 7 = 0$

Этап 3.2.3

Приравняем $z + 1$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Приравняем $z + 1$ к $0$ .

$z + 1 = 0$

Этап 3.2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$z = - 1$

Этап 3.2.4

Приравняем $z + 7$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Приравняем $z + 7$ к $0$ .

$z + 7 = 0$

Этап 3.2.4.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$z = - 7$

Этап 3.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(z + 1) (z + 7) = 0$ верно.

$z = - 1, - 7$

Этап 4

Приравняем $z^{2} + 8 z + 16$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $z^{2} + 8 z + 16$ к $0$ .

$z^{2} + 8 z + 16 = 0$

Этап 4.2

Решим $z^{2} + 8 z + 16 = 0$ относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$z^{2} + 8 z + 4^{2} = 0$

Этап 4.2.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 z = 2 \cdot z \cdot 4$

Этап 4.2.1.3

Перепишем многочлен.

$z^{2} + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Этап 4.2.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = z$ и $b = 4$ .

${(z + 4)}^{2} = 0$

Этап 4.2.2

Приравняем $z + 4$ к $0$ .

$z + 4 = 0$

Этап 4.2.3

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$z = - 4$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(z^{2} + 8 z + 7) (z^{2} + 8 z + 16) = 0$ верно.

$z = - 1, - 7, - 4$