Основы мат. анализа Примеры

$\sin (\cos^{-1} (u) - \tan^{-1} (v))$

Этап 1

Применим формулу для разности углов.

$\sin (\cos^{-1} (u)) \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ , $(u, 0)$ и начале координат. Тогда $\cos^{-1} (u)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(u, \sqrt{1^{2} - u^{2}})$ . Следовательно, $\sin (\cos^{-1} (u))$ равно $\sqrt{1 - u^{2}}$ .

$\sqrt{1 - u^{2}} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - u^{2}} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = u$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \cos (\tan^{-1} (v)) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.4

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, v)$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\tan^{-1} (v)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, v)$ . Следовательно, $\cos (\tan^{-1} (v))$ равно $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.5

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} (\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}) - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.6

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.6.2

Возведем $\sqrt{1 + v^{2}}$ в степень $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.6.3

Возведем $\sqrt{1 + v^{2}}$ в степень $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.6.6

Перепишем ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ в виде $1 + v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + v^{2}}$ в виде ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.6.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.6.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.6.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.6.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.6.6.5

Упростим.

$\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.7

Умножим $\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Объединим $\sqrt{(1 + u) (1 - u)}$ и $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u)} \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.7.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - \cos (\cos^{-1} (u)) \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.8

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \sin (\tan^{-1} (v))$

Этап 2.1.9

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, v)$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $\tan^{-1} (v)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, v)$ . Следовательно, $\sin (\tan^{-1} (v))$ равно $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$

Этап 2.1.10

Умножим $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u (\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}})$

Этап 2.1.11

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Умножим $\frac{v}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{\sqrt{1 + v^{2}} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Этап 2.1.11.2

Возведем $\sqrt{1 + v^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} \sqrt{1 + v^{2}}}$

Этап 2.1.11.3

Возведем $\sqrt{1 + v^{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + v^{2}}}^{1}}$

Этап 2.1.11.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{1 + 1}}$

Этап 2.1.11.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}}$

Этап 2.1.11.6

Перепишем ${\sqrt{1 + v^{2}}}^{2}$ в виде $1 + v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 + v^{2}}$ в виде ${(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{({(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.1.11.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.1.11.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.1.11.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.1.11.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{{(1 + v^{2})}^{1}}$

Этап 2.1.11.6.5

Упростим.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - u \frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$

Этап 2.1.12

Объединим $\frac{v \sqrt{1 + v^{2}}}{1 + v^{2}}$ и $u$ .

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})}}{1 + v^{2}} - \frac{v \sqrt{1 + v^{2}} u}{1 + v^{2}}$

Этап 2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{(1 + u) (1 - u) (1 + v^{2})} - v \sqrt{1 + v^{2}} u}{1 + v^{2}}$