Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{3} \cos (2 x) = 2 \sin (x) \cos (2 x)$

Этап 1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 2 \sin (x) \cos (2 x)$

Этап 2

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Этап 3

Вычтем $2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \sin (x) (- \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 4.1.3

Умножим $\sin (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1 = 0$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 (\sin^{2} (x) \sin^{1} (x)) \cdot - 1 = 0$

Этап 4.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1 = 0$

Этап 4.1.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) - 2 \sin^{3} (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x) = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разложим $\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\sqrt{3} \cos^{2} (x) + \sqrt{3} (- \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin^{3} (x) = 0$

Этап 5.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\sqrt{3} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 5.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$(\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$

Этап 5.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (x)$ и $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$

Этап 5.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

$\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.3

Приравняем $\cos (x) + \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Приравняем $\cos (x) + \sin (x)$ к $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

Этап 5.3.2

Решим $\cos (x) + \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.3.2.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.3.2.4

Разделим дроби.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 5.3.2.5

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 5.3.2.6

Разделим $0$ на $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 5.3.2.7

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

Этап 5.3.2.8

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 1$

Этап 5.3.2.9

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 5.3.2.10

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.10.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 5.3.2.11

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 5.3.2.12

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.12.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 5.3.2.12.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.3.2.13

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.3.2.13.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.3.2.13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.3.2.13.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.3.2.14

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.14.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 5.3.2.14.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.3.2.14.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.14.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 5.3.2.14.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 5.3.2.14.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.14.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 5.3.2.14.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 5.3.2.14.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 5.3.2.15

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.4

Приравняем $\cos (x) - \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $\cos (x) - \sin (x)$ к $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Этап 5.4.2

Решим $\cos (x) - \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.4.2.3

Разделим дроби.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.4.2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.4.2.5

Разделим $- 1$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 5.4.2.6

Разделим дроби.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 5.4.2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 5.4.2.8

Разделим $0$ на $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Этап 5.4.2.9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Этап 5.4.2.10

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - 1$

Этап 5.4.2.11

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.11.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.4.2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.11.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.4.2.11.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.4.2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.11.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 5.4.2.12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 5.4.2.13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.13.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 5.4.2.14

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 5.4.2.15

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.15.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.4.2.15.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.15.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.4.2.15.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 5.4.2.15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.15.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 5.4.2.15.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 5.4.2.16

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.16.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.4.2.16.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.4.2.16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.4.2.16.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.4.2.17

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.5

Приравняем $\sqrt{3} - 2 \sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $\sqrt{3} - 2 \sin (x)$ к $0$ .

$\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$

Этап 5.5.2

Решим $\sqrt{3} - 2 \sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 5.5.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 5.5.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{3}$

Этап 5.5.2.6

Упростим $π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.5.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 5.5.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 5.5.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.6.3.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Этап 5.5.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 5.5.2.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.5.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.5.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.5.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.5.2.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) (\sqrt{3} - 2 \sin (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{3 π}{4} + π n$ и $\frac{π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2

Объединим $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ и $\frac{5 π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7