Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt[3]{x} + 4$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \sqrt[3]{y} + 4$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{y} + 4 = x$ .

$\sqrt[3]{y} + 4 = x$

Этап 2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt[3]{y} = x - 4$

Этап 2.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Этап 2.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{y}$ в виде $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Этап 2.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Этап 2.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{1} = {(x - 4)}^{3}$

Этап 2.4.2.1.2

Упростим.

$y = {(x - 4)}^{3}$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим ${(x - 4)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Этап 2.4.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Этап 2.4.3.1.2.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3}$

Этап 2.4.3.1.2.3

Умножим $16$ на $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3}$

Этап 2.4.3.1.2.4

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ обратной к $f (x) = \sqrt[3]{x} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.2.1.5

Упростим.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.2.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 4 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 4^{2} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.2.4

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 16 + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.2.5

Умножим $16$ на $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 4^{3} - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.2.6

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 {(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2} + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.3

Перепишем ${(\sqrt[3]{x} + 4)}^{2}$ в виде $(\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ((\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.4

Развернем $(\sqrt[3]{x} + 4) (\sqrt[3]{x} + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} + 4) + 4 (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 (\sqrt[3]{x} + 4)) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.5.1.1

Умножим $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.5.1.1.1

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.5.1.1.2

Возведем $\sqrt[3]{x}$ в степень $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.5.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.5.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.5.1.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.5.1.3

Перенесем $4$ влево от $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 4 \cdot \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \cdot 4) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.5.1.4

Умножим $4$ на $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + 16) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.5.2

Добавим $4 \sqrt[3]{x}$ и $4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 (\sqrt[3]{x^{2}} + 8 \sqrt[3]{x} + 16) + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \cdot 16 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.7.1

Умножим $8$ на $- 12$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \cdot 16 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.7.2

Умножим $- 12$ на $16$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 (\sqrt[3]{x} + 4) - 64$

Этап 4.2.3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 48 \cdot 4 - 64$

Этап 4.2.3.9

Умножим $48$ на $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

Этап 4.2.4

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Объединим противоположные члены в $x + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 12 \sqrt[3]{x^{2}} - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1.1

Вычтем $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ из $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 0 + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

Этап 4.2.4.1.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} - 192 + 48 \sqrt[3]{x} + 192 - 64$

Этап 4.2.4.1.3

Добавим $- 192$ и $192$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} + 0 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Этап 4.2.4.1.4

Добавим $x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 64 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Этап 4.2.4.1.5

Вычтем $64$ из $64$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} + 0 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Этап 4.2.4.1.6

Добавим $x + 48 \sqrt[3]{x}$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 48 \sqrt[3]{x} - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $96 \sqrt[3]{x}$ из $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Этап 4.2.4.3

Объединим противоположные члены в $x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.3.1

Добавим $- 48 \sqrt[3]{x}$ и $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x + 0$

Этап 4.2.4.3.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 4) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64} + 4$

Этап 4.3.3

Избавимся от скобок.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64} + 4$

Этап 4.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сопоставим все члены с членами бинома Ньютона.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (4 x^{2}) + 3 \cdot (4^{2} x) - 1 \cdot 4^{3}} + 4$

Этап 4.3.4.2

Разложим $x^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} + 3 \cdot 4^{2} x - 1 \cdot 4^{3}$ на множители с помощью бинома Ньютона.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = \sqrt[3]{{(x - 4)}^{3}} + 4$

Этап 4.3.4.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x - 4 + 4$

Этап 4.3.5

Объединим противоположные члены в $x - 4 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Добавим $- 4$ и $4$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x + 0$

Этап 4.3.5.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ — обратная к $f (x) = \sqrt[3]{x} + 4$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$