Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} - 121}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $121$ в виде $11^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 11^{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$

Этап 1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 11$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11)}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$

Этап 2

Умножим $\frac{(x + 11) (x - 11)}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{11}}{\sqrt{x} + \sqrt{11}}$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11)}{\sqrt{x} - \sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{11}}{\sqrt{x} + \sqrt{11}}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{(x + 11) (x - 11)}{\sqrt{x} - \sqrt{11}}$ на $\frac{\sqrt{x} + \sqrt{11}}{\sqrt{x} + \sqrt{11}}$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{(\sqrt{x} - \sqrt{11}) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}$

Этап 3.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{{\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x \cdot 11} - \sqrt{x \cdot 11} - {\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 3.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x^{1} - {\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 3.3.1.5

Упростим.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - {\sqrt{11}}^{2}}$

Этап 3.3.2

Перепишем ${\sqrt{11}}^{2}$ в виде $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{11}$ в виде $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11^{1}}$

Этап 3.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 1 \cdot 11}$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $11$ .

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $x - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 11) (x - 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})}{x - 11}$

Этап 3.4.2

Разделим $(x + 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})$ на $1$ .

$(x + 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})$

Этап 4

Развернем $(x + 11) (\sqrt{x} + \sqrt{11})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (\sqrt{x} + \sqrt{11}) + 11 (\sqrt{x} + \sqrt{11})$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \sqrt{x} + x \sqrt{11} + 11 (\sqrt{x} + \sqrt{11})$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \sqrt{x} + x \sqrt{11} + 11 \sqrt{x} + 11 \sqrt{11}$