Основы мат. анализа Примеры

$z^{6} = i$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $z^{6}$ .

$u^{6} = i$

Этап 2

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 3

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 4

Подставим фактические значения $a = 0$ и $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Этап 5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 1$

Этап 6

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{1}{0})$

Этап 7

Поскольку аргумент не определен и $b$ имеет положительное значение, угол точки на комплексной плоскости равен $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 8

Подставим значения $θ = \frac{π}{2}$ и $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Этап 9

Заменим правую часть уравнения на тригонометрическую формулу.

$u^{6} = \cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10

Используем формулу Муавра, чтобы найти уравнение для $u$ .

$r^{6} (c o s (6 θ) + i s i n (6 θ)) = i = \cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Этап 11

Приравняем модуль тригонометрической формы к $r^{6}$ , чтобы найти значение $r$ .

$r^{6} = 1$

Этап 12

Решим уравнение относительно $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[6]{1}$

Этап 12.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$r = \pm 1$

Этап 12.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$r = 1$

Этап 12.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$r = - 1$

Этап 12.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$r = 1, - 1$

Этап 13

Найдем приблизительное значение $r$ .

$r = 1$

Этап 14

Найдем возможные значения $θ$ .

$c o s (6 θ) = c o s (2 π n)$ и $s i n (6 θ) = s i n (2 π n)$

Этап 15

Нахождение всех возможных значений $θ$ приводит к уравнению $6 θ = 2 π n$ .

$6 θ = 2 π n$

Этап 16

Найдем значение $θ$ для $r = 0$ .

$6 θ = 2 π (0)$

Этап 17

Решим уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Умножим $2 π \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Умножим $0$ на $2$ .

$6 θ = 0 π$

Этап 17.1.2

Умножим $0$ на $π$ .

$6 θ = 0$

Этап 17.2

Разделим каждый член $6 θ = 0$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Разделим каждый член $6 θ = 0$ на $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 17.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{0}{6}$

Этап 17.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{0}{6}$

Этап 17.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.1

Разделим $0$ на $6$ .

$θ = 0$

Этап 18

Используем значения $θ$ и $r$ , чтобы найти решение уравнения $u^{6} = i$ .

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

Этап 19

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Умножим $\cos (0) + i \sin (0)$ на $1$ .

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

Этап 19.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

Этап 19.2.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

Этап 19.2.3

Умножим $i$ на $0$ .

$u_{0} = 1 + 0$

Этап 19.3

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{0} = 1$

Этап 20

Подставим $z^{6}$ вместо $u$ , чтобы вычислить значение $z$ после сдвига вправо.

$z_{0} = 0 + 1$

Этап 21

Найдем значение $θ$ для $r = 1$ .

$6 θ = 2 π (1)$

Этап 22

Решим уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Умножим $2$ на $1$ .

$6 θ = 2 π$

Этап 22.2

Разделим каждый член $6 θ = 2 π$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.1

Разделим каждый член $6 θ = 2 π$ на $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{2 π}{6}$

Этап 22.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{2 π}{6}$

Этап 22.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{2 π}{6}$

Этап 22.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$θ = \frac{2 (π)}{6}$

Этап 22.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$θ = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Этап 22.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Этап 22.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \frac{π}{3}$

Этап 23

Используем значения $θ$ и $r$ , чтобы найти решение уравнения $u^{6} = i$ .

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 24

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Умножим $\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})$ на $1$ .

$u_{1} = \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})$

Этап 24.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Этап 24.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 24.2.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 25

Подставим $z^{6}$ вместо $u$ , чтобы вычислить значение $z$ после сдвига вправо.

$z_{1} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 26

Найдем значение $θ$ для $r = 2$ .

$6 θ = 2 π (2)$

Этап 27

Решим уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Умножим $2$ на $2$ .

$6 θ = 4 π$

Этап 27.2

Разделим каждый член $6 θ = 4 π$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1

Разделим каждый член $6 θ = 4 π$ на $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{4 π}{6}$

Этап 27.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{4 π}{6}$

Этап 27.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{4 π}{6}$

Этап 27.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.3.1

Сократим общий множитель $4$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{6}$

Этап 27.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$θ = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Этап 27.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Этап 27.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \frac{2 π}{3}$

Этап 28

Используем значения $θ$ и $r$ , чтобы найти решение уравнения $u^{6} = i$ .

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Этап 29

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.1

Умножим $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ на $1$ .

$u_{2} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 29.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 29.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 29.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Этап 29.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Этап 29.2.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 29.2.5

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 30

Подставим $z^{6}$ вместо $u$ , чтобы вычислить значение $z$ после сдвига вправо.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 31

Найдем значение $θ$ для $r = 3$ .

$6 θ = 2 π (3)$

Этап 32

Решим уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.1

Умножим $3$ на $2$ .

$6 θ = 6 π$

Этап 32.2

Разделим каждый член $6 θ = 6 π$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.1

Разделим каждый член $6 θ = 6 π$ на $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{6 π}{6}$

Этап 32.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{6 π}{6}$

Этап 32.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{6 π}{6}$

Этап 32.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.3.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 32.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$θ = \frac{6 π}{6}$

Этап 32.2.3.1.2

Разделим $π$ на $1$ .

$θ = π$

Этап 33

Используем значения $θ$ и $r$ , чтобы найти решение уравнения $u^{6} = i$ .

$u_{3} = 1 (\cos (π) + i \sin (π))$

Этап 34

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.1

Умножим $\cos (π) + i \sin (π)$ на $1$ .

$u_{3} = \cos (π) + i \sin (π)$

Этап 34.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 34.2.1

$u_{3} = - \cos (0) + i \sin (π)$

Этап 34.2.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$u_{3} = - 1 \cdot 1 + i \sin (π)$

Этап 34.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{3} = - 1 + i \sin (π)$

Этап 34.2.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$u_{3} = - 1 + i \sin (0)$

Этап 34.2.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{3} = - 1 + i \cdot 0$

Этап 34.2.6

Умножим $i$ на $0$ .

$u_{3} = - 1 + 0$

Этап 34.3

Добавим $- 1$ и $0$ .

$u_{3} = - 1$

Этап 35

Подставим $z^{6}$ вместо $u$ , чтобы вычислить значение $z$ после сдвига вправо.

$z_{3} = 0 - 1$

Этап 36

Найдем значение $θ$ для $r = 4$ .

$6 θ = 2 π (4)$

Этап 37

Решим уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 37.1

Умножим $4$ на $2$ .

$6 θ = 8 π$

Этап 37.2

Разделим каждый член $6 θ = 8 π$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 37.2.1

Разделим каждый член $6 θ = 8 π$ на $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{8 π}{6}$

Этап 37.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 37.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 37.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{8 π}{6}$

Этап 37.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{8 π}{6}$

Этап 37.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 37.2.3.1

Сократим общий множитель $8$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 37.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 π$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{6}$

Этап 37.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 37.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$θ = \frac{2 (4 π)}{2 (3)}$

Этап 37.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \frac{2 (4 π)}{2 \cdot 3}$

Этап 37.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \frac{4 π}{3}$

Этап 38

Используем значения $θ$ и $r$ , чтобы найти решение уравнения $u^{6} = i$ .

$u_{4} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

Этап 39

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 39.1

Умножим $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ на $1$ .

$u_{4} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 39.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 39.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$u_{4} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 39.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Этап 39.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 39.2.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 39.2.5

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{4} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 40

Подставим $z^{6}$ вместо $u$ , чтобы вычислить значение $z$ после сдвига вправо.

$z_{4} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 41

Найдем значение $θ$ для $r = 5$ .

$6 θ = 2 π (5)$

Этап 42

Решим уравнение относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 42.1

Умножим $5$ на $2$ .

$6 θ = 10 π$

Этап 42.2

Разделим каждый член $6 θ = 10 π$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 42.2.1

Разделим каждый член $6 θ = 10 π$ на $6$ .

$\frac{6 θ}{6} = \frac{10 π}{6}$

Этап 42.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 42.2.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 42.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 θ}{6} = \frac{10 π}{6}$

Этап 42.2.2.1.2

Разделим $θ$ на $1$ .

$θ = \frac{10 π}{6}$

Этап 42.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 42.2.3.1

Сократим общий множитель $10$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 42.2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10 π$ .

$θ = \frac{2 (5 π)}{6}$

Этап 42.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 42.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$θ = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Этап 42.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$θ = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Этап 42.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$θ = \frac{5 π}{3}$

Этап 43

Используем значения $θ$ и $r$ , чтобы найти решение уравнения $u^{6} = i$ .

$u_{5} = 1 (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

Этап 44

Преобразуем решение, используя алгебраическую форму комплексного числа.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.1

Умножим $\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$ на $1$ .

$u_{5} = \cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 44.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 44.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$u_{5} = \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 44.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} + i \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 44.2.3

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$u_{5} = \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 44.2.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 44.2.5

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{5} = \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 45

Подставим $z^{6}$ вместо $u$ , чтобы вычислить значение $z$ после сдвига вправо.

$z_{5} = 0 + \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Этап 46

Это комплексные решения $u^{6} = i$ .

$z_{0} = 1$

$z_{1} = \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{3} = - 1$

$z_{4} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{5} = \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$