Основы мат. анализа Примеры

$7 + 5 x^{4} - 3 x^{2}$

Этап 1

Приравняем $7 + 5 x^{4} - 3 x^{2}$ к $0$ .

$7 + 5 x^{4} - 3 x^{2} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$5 u^{2} - 3 u + 7 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3

Подставим значения $a = 5$ , $b = - 3$ и $c = 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 7)}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 5 \cdot 7}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 20 \cdot 7}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.1.2.2

Умножим $- 20$ на $7$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 140}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.1.3

Вычтем $140$ из $9$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{- 131}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.1.4

Перепишем $- 131$ в виде $- 1 (131)$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 131}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (131)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{131}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{131}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$u = \frac{3 \pm i \sqrt{131}}{2 \cdot 5}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$u = \frac{3 \pm i \sqrt{131}}{10}$

Этап 2.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{3 + i \sqrt{131}}{10}, \frac{3 - i \sqrt{131}}{10}$

Этап 2.6

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{3 + i \sqrt{131}}{10}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{3 - i \sqrt{131}}{10}$

Этап 2.7

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{3 + i \sqrt{131}}{10}$

Этап 2.8

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 + i \sqrt{131}}{10}}$

Этап 2.8.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3 + i \sqrt{131}}{10}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3 + i \sqrt{131}}{10}}$ в виде $\frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$

Этап 2.8.2.2

Умножим $\frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Этап 2.8.2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 2.8.2.3.2

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Этап 2.8.2.3.3

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Этап 2.8.2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Этап 2.8.2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Этап 2.8.2.3.6

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.8.2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.8.2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.8.2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.8.2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Этап 2.8.2.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10}$

Этап 2.8.2.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Этап 2.8.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Этап 2.8.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Этап 2.8.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, - \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Этап 2.9

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{3 - i \sqrt{131}}{10}$

Этап 2.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = \frac{3 - i \sqrt{131}}{10}$

Этап 2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 - i \sqrt{131}}{10}}$

Этап 2.10.3

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3 - i \sqrt{131}}{10}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Перепишем $\sqrt{\frac{3 - i \sqrt{131}}{10}}$ в виде $\frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$

Этап 2.10.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Этап 2.10.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}}}{\sqrt{10}}$ на $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Этап 2.10.3.3.2

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Этап 2.10.3.3.3

Возведем $\sqrt{10}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Этап 2.10.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Этап 2.10.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Этап 2.10.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{10}}^{2}$ в виде $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{10}$ в виде $10^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.10.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.10.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.10.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.10.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Этап 2.10.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 - i \sqrt{131}} \sqrt{10}}{10}$

Этап 2.10.3.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Этап 2.10.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Этап 2.10.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Этап 2.10.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, - \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Этап 2.11

Решением $5 x^{4} - 3 x^{2} + 7 = 0$ является $x = \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, - \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, - \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$ .

$x = \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, - \frac{\sqrt{(3 + i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}, - \frac{\sqrt{(3 - i \sqrt{131}) \cdot 10}}{10}$

Этап 3