Основы мат. анализа Примеры

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = \cos (2 θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ)$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\cos^{4} (θ)$ в виде ${(\cos^{2} (θ))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - \sin^{4} (θ)$

Этап 2.2

Перепишем $\sin^{4} (θ)$ в виде ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - {(\sin^{2} (θ))}^{2}$

Этап 2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos^{2} (θ)$ и $b = \sin^{2} (θ)$ .

$(\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Этап 2.4

Переставляем члены.

$(\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Этап 2.5

Применим формулу Пифагора.

$1 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Этап 2.6

Умножим $\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ на $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Этап 2.7

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 θ)$

Этап 3

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = \cos (2 θ)$ — тождество