Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} = \sec (θ) + \tan (θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)}$

Этап 2

Умножим $\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)}$ на $\frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$ .

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} \cdot \frac{1 + \sin (θ)}{1 + \sin (θ)}$

Этап 3

Объединим.

$\frac{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}{(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) \sin (θ)}{(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))}$

Этап 4.2

Умножим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(1 - \sin (θ)) (1 + \sin (θ))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{1 (1 + \sin (θ)) - \sin (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (θ) - \sin (θ) (1 + \sin (θ))}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (θ) - \sin (θ) \cdot 1 - \sin (θ) \sin (θ)}$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{1 - \sin^{2} (θ)}$

Этап 6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $\cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) \sin (θ)}{{\cos (θ)}^{2}}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (\sin (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Этап 7.1.3

Вынесем множитель $\cos (θ)$ из $\cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (\sin (θ))$ .

$\frac{\cos (θ) (1 + \sin (θ))}{{\cos (θ)}^{2}}$

Этап 7.2

Сократим общие множители.

$\frac{1 + \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 8

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\sec (θ) + \tan (θ)$

Этап 9

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (θ)$ .

$\frac{1}{\cos (θ)} + \tan (θ)$

Этап 9.2

Запишем $\tan (θ)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1}{\cos (θ)} + \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Этап 11

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cos (θ)}{1 - \sin (θ)} = \sec (θ) + \tan (θ)$ — тождество