Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2} (4 + x) (x - 9)}{(x + 2) (x - 7)} \geq 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} = 0$

$4 + x = 0$

$x - 9 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 4

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 5

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 6

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0$

$x = - 4$

$x = 9$

$x = - 2$

$x = 7$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 0, - 4, 9, - 2, 7$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{x^{2} (4 + x) (x - 9)}{(x + 2) (x - 7)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} (4 + x) (x - 9)}{(x + 2) (x - 7)}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$(x + 2) (x - 7) = 0$

Этап 10.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 10.2.2

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 10.2.3

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 10.2.3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 10.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 7) = 0$ верно.

$x = - 2, 7$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 6$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 6$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 6)}^{2} (4 - 6) ((- 6) - 9)}{((- 6) + 2) ((- 6) - 7)} \geq 0$

Этап 12.1.3

Левая часть $20.\overline{769230}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $- 4 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $- 4 < x < - 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 3)}^{2} (4 - 3) ((- 3) - 9)}{((- 3) + 2) ((- 3) - 7)} \geq 0$

Этап 12.2.3

Левая часть $- 10.8$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $- 2 < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 1$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $- 1$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 1)}^{2} (4 - 1) ((- 1) - 9)}{((- 1) + 2) ((- 1) - 7)} \geq 0$

Этап 12.3.3

Левая часть $3.75$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $0 < x < 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(4)}^{2} (4 + 4) ((4) - 9)}{((4) + 2) ((4) - 7)} \geq 0$

Этап 12.4.3

Левая часть $35.\overline{5}$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.5

Проверим значение на интервале $7 < x < 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Выберем значение на интервале $7 < x < 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 8$

Этап 12.5.2

Заменим $x$ на $8$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(8)}^{2} (4 + 8) ((8) - 9)}{((8) + 2) ((8) - 7)} \geq 0$

Этап 12.5.3

Левая часть $- 76.8$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.6

Проверим значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Выберем значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 12.6.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(12)}^{2} (4 + 12) ((12) - 9)}{((12) + 2) ((12) - 7)} \geq 0$

Этап 12.6.3

Левая часть $98.74285714$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.7

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Истина

$0 < x < 7$ Истина

$7 < x < 9$ Ложь

$x > 9$ Истина

$x < - 4$ Истина

$- 4 < x < - 2$ Ложь

$- 2 < x < 0$ Истина

$0 < x < 7$ Истина

$7 < x < 9$ Ложь

$x > 9$ Истина

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 4$ или $- 2 < x \leq 0$ или $0 \leq x < 7$ или $x \geq 9$

Этап 14

Объединим интервалы.

$x \leq - 4 or - 2 < x < 7 or x \geq 9$

Этап 15

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, - 4] \cup (- 2, 7) \cup [9, \infty)$

Этап 16