Основы мат. анализа Примеры

$y = 8^{2 x}$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = 8^{2 y}$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $8^{2 y} = x$ .

$8^{2 y} = x$

Этап 2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (8^{2 y}) = \ln (x)$

Этап 2.3

Развернем $\ln (8^{2 y})$ , вынося $2 y$ из логарифма.

$2 y \ln (8) = \ln (x)$

Этап 2.4

Разделим каждый член $2 y \ln (8) = \ln (x)$ на $2 \ln (8)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим каждый член $2 y \ln (8) = \ln (x)$ на $2 \ln (8)$ .

$\frac{2 y \ln (8)}{2 \ln (8)} = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y \ln (8)}{2 \ln (8)} = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$

Этап 2.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общий множитель $\ln (8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$

Этап 2.4.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$ обратной к $f (x) = 8^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} \cdot 8^{2 x}$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 8^{2 x} = \frac{\ln (8^{2 x})}{2 \ln (8)}$

Этап 4.2.3

Развернем $\ln (8^{2 x})$ , вынося $2 x$ из логарифма.

$f^{- 1} \cdot 8^{2 x} = \frac{2 x \ln (8)}{2 \ln (8)}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} \cdot 8^{2 x} = \frac{2 x \ln (8)}{2 \ln (8)}$

Этап 4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} \cdot 8^{2 x} = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $\ln (8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} \cdot 8^{2 x} = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

Этап 4.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} \cdot 8^{2 x} = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{\ln (x)}{2 \ln (8)})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}) = 8^{2 (\frac{\ln (x)}{2 \ln (8)})}$

Этап 4.3.3

Упростим $2 \ln (8)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (\frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}) = 8^{2 (\frac{\ln (x)}{\ln (8^{2})})}$

Этап 4.3.4

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}) = 8^{2 (\frac{\ln (x)}{\ln (64)})}$

Этап 4.3.5

Умножим $2 \frac{\ln (x)}{\ln (64)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Объединим $2$ и $\frac{\ln (x)}{\ln (64)}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}) = 8^{\frac{2 \ln (x)}{\ln (64)}}$

Этап 4.3.5.2

Упростим $2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (\frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}) = 8^{\frac{\ln (x^{2})}{\ln (64)}}$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$ — обратная к $f (x) = 8^{2 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2 \ln (8)}$