Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{3 z^{2} + 16} = \sqrt{2 z^{2} - 8 z}$

Этап 1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{3 z^{2} + 16}}^{2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Этап 2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 z^{2} + 16}$ в виде ${(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим ${({(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 z^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 z^{2} + 16)}^{1} = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим ${\sqrt{2 z^{2} - 8 z}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2 z$ из $2 z^{2} - 8 z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Вынесем множитель $2 z$ из $2 z^{2}$ .

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z (z) - 8 z}}^{2}$

Этап 2.3.1.1.2

Вынесем множитель $2 z$ из $- 8 z$ .

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z (z) + 2 z (- 4)}}^{2}$

Этап 2.3.1.1.3

Вынесем множитель $2 z$ из $2 z (z) + 2 z (- 4)$ .

$3 z^{2} + 16 = {\sqrt{2 z (z - 4)}}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Перепишем ${\sqrt{2 z (z - 4)}}^{2}$ в виде $2 z (z - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 z (z - 4)}$ в виде ${(2 z (z - 4))}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 z^{2} + 16 = {({(2 z (z - 4))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 2.3.1.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.4.1

Сократим общий множитель.

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{\frac{2}{2}}$

Этап 2.3.1.2.4.2

Перепишем это выражение.

$3 z^{2} + 16 = {(2 z (z - 4))}^{1}$

Этап 2.3.1.2.5

Упростим.

$3 z^{2} + 16 = 2 z (z - 4)$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 z^{2} + 16 = 2 z \cdot z + 2 z \cdot - 4$

Этап 2.3.1.4

Умножим $z$ на $z$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перенесем $z$ .

$3 z^{2} + 16 = 2 (z \cdot z) + 2 z \cdot - 4$

Этап 2.3.1.4.2

Умножим $z$ на $z$ .

$3 z^{2} + 16 = 2 z^{2} + 2 z \cdot - 4$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- 4$ на $2$ .

$3 z^{2} + 16 = 2 z^{2} - 8 z$

Этап 3

Решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $z$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$2 z^{2} - 8 z = 3 z^{2} + 16$

Этап 3.2

Перенесем все члены с $z$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $3 z^{2}$ из обеих частей уравнения.

$2 z^{2} - 8 z - 3 z^{2} = 16$

Этап 3.2.2

Вычтем $3 z^{2}$ из $2 z^{2}$ .

$- z^{2} - 8 z = 16$

Этап 3.3

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- z^{2} - 8 z - 16 = 0$

Этап 3.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- z^{2} - 8 z - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- z^{2}$ .

$- (z^{2}) - 8 z - 16 = 0$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 z$ .

$- (z^{2}) - (8 z) - 16 = 0$

Этап 3.4.1.3

Перепишем $- 16$ в виде $- 1 (16)$ .

$- (z^{2}) - (8 z) - 1 \cdot 16 = 0$

Этап 3.4.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (z^{2}) - (8 z)$ .

$- (z^{2} + 8 z) - 1 \cdot 16 = 0$

Этап 3.4.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (z^{2} + 8 z) - 1 (16)$ .

$- (z^{2} + 8 z + 16) = 0$

Этап 3.4.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- (z^{2} + 8 z + 4^{2}) = 0$

Этап 3.4.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 z = 2 \cdot z \cdot 4$

Этап 3.4.2.3

Перепишем многочлен.

$- (z^{2} + 2 \cdot z \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 3.4.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = z$ и $b = 4$ .

$- {(z + 4)}^{2} = 0$

Этап 3.5

Разделим каждый член $- {(z + 4)}^{2} = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Разделим каждый член $- {(z + 4)}^{2} = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- {(z + 4)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{{(z + 4)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.5.2.2

Разделим ${(z + 4)}^{2}$ на $1$ .

${(z + 4)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Этап 3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

${(z + 4)}^{2} = 0$

Этап 3.6

Приравняем $z + 4$ к $0$ .

$z + 4 = 0$

Этап 3.7

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$z = - 4$