Основы мат. анализа Примеры

$- \frac{1}{3} x = {(y - 2)}^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде ${(y - 2)}^{2} = - \frac{1}{3} x$ .

${(y - 2)}^{2} = - \frac{1}{3} x$

Этап 2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y - 2 = \pm \sqrt{- \frac{1}{3} x}$

Этап 3

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{- \frac{x}{3}}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y - 2 = \sqrt{- \frac{x}{3}}$

Этап 4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = \sqrt{- \frac{x}{3}} + 2$

Этап 4.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y - 2 = - \sqrt{- \frac{x}{3}}$

Этап 4.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = - \sqrt{- \frac{x}{3}} + 2$

Этап 4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \frac{x}{3}} + 2$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{3}} + 2$

$y = \sqrt{- \frac{x}{3}} + 2$

$y = - \sqrt{- \frac{x}{3}} + 2$

Этап 5

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- \frac{x}{3}}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- \frac{x}{3} \geq 0$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $- \frac{x}{3} \geq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Разделим каждый член $- \frac{x}{3} \geq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- \frac{x}{3}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 6.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\frac{x}{3}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 6.1.2.2

Разделим $\frac{x}{3}$ на $1$ .

$\frac{x}{3} \leq \frac{0}{- 1}$

Этап 6.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\frac{x}{3} \leq 0$

Этап 6.2

Умножим обе части на $3$ .

$\frac{x}{3} \cdot 3 \leq 0 \cdot 3$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{3} \cdot 3 \leq 0 \cdot 3$

Этап 6.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x \leq 0 \cdot 3$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $0$ на $3$ .

$x \leq 0$

Этап 7

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, 0]$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq 0}$

Этап 8

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Этап 9

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, 0], {x | x \leq 0}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Этап 10