Основы мат. анализа Примеры

(5, \frac{π}{2})

$(5, \frac{π}{2})$

Этап 1

Преобразуем

(x, y)

$(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные

(r, θ)

$(r, θ)$ , используя формулы перевода.

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим

x

$x$ и

y

$y$ фактическими значениями.

r = \sqrt{{(5)}^{2} + {(\frac{π}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{{(5)}^{2} + {(\frac{π}{2})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем

5

$5$ в степень

2

$2$ .

r = \sqrt{25 + {(\frac{π}{2})}^{2}}

$r = \sqrt{25 + {(\frac{π}{2})}^{2}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Применим правило умножения к

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

r = \sqrt{25 + \frac{π^{2}}{2^{2}}}

$r = \sqrt{25 + \frac{π^{2}}{2^{2}}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Возведем

2

$2$ в степень

2

$2$ .

r = \sqrt{25 + \frac{π^{2}}{4}}

$r = \sqrt{25 + \frac{π^{2}}{4}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4

Чтобы записать

25

$25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

r = \sqrt{25 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}

$r = \sqrt{25 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5

Объединим

25

$25$ и

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

r = \sqrt{\frac{25 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим числители над общим знаменателем.

r = \sqrt{\frac{25 \cdot 4 + π^{2}}{4}}

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 4 + π^{2}}{4}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.2

Умножим

25

$25$ на

4

$4$ .

r = \sqrt{\frac{100 + π^{2}}{4}}

$r = \sqrt{\frac{100 + π^{2}}{4}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

r = \sqrt{\frac{100 + π^{2}}{4}}

$r = \sqrt{\frac{100 + π^{2}}{4}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7

Перепишем

\sqrt{\frac{100 + π^{2}}{4}}

$\sqrt{\frac{100 + π^{2}}{4}}$ в виде

\frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{\sqrt{4}}$ .

r = \frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{\sqrt{4}}

$r = \frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{\sqrt{4}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем

4

$4$ в виде

2^{2}

$2^{2}$ .

r = \frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{\sqrt{2^{2}}}

$r = \frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

r = \frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{2}

$r = \frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{2}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

r = \frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{2}

$r = \frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{2}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

r = \frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{2}

$r = \frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{2}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим

x

$x$ и

y

$y$ фактическими значениями.

r = \frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{2}

$r = \frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{2}$

θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{π}{2}}{5})

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{π}{2}}{5})$

Этап 5

Обратная функция тангенса

\frac{π}{10}

$\frac{π}{10}$ равна

θ = 17.44059449 °

$θ = 17.44059449 °$ .

r = \frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{2}

$r = \frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{2}$

θ = 17.44059449 °

$θ = 17.44059449 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде

(r, θ)

$(r, θ)$ .

(\frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{2}, 17.44059449 °)

$(\frac{\sqrt{100 + π^{2}}}{2}, 17.44059449 °)$