Основы мат. анализа Примеры

$\ln (\sqrt{x^{3} y^{2} z e^{\frac{3}{2}}})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{3} y^{2} z e^{\frac{3}{2}}}$ в виде ${(x^{3} y^{2} z e^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln ({(x^{3} y^{2} z e^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 2

Развернем $\ln ({(x^{3} y^{2} z e^{\frac{3}{2}})}^{\frac{1}{2}})$ , вынося $\frac{1}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} \ln (x^{3} y^{2} z e^{\frac{3}{2}})$

Этап 3

Перепишем $\ln (x^{3} y^{2} z e^{\frac{3}{2}})$ в виде $\ln (x^{3} y^{2} z) + \ln (e^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x^{3} y^{2} z) + \ln (e^{\frac{3}{2}}))$

Этап 4

Перепишем $\ln (x^{3} y^{2} z)$ в виде $\ln (x^{3} y^{2}) + \ln (z)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x^{3} y^{2}) + \ln (z) + \ln (e^{\frac{3}{2}}))$

Этап 5

Перепишем $\ln (x^{3} y^{2})$ в виде $\ln (x^{3}) + \ln (y^{2})$ .

$\frac{1}{2} (\ln (x^{3}) + \ln (y^{2}) + \ln (z) + \ln (e^{\frac{3}{2}}))$

Этап 6

Развернем $\ln (x^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (3 \ln (x) + \ln (y^{2}) + \ln (z) + \ln (e^{\frac{3}{2}}))$

Этап 7

Развернем $\ln (y^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (3 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (z) + \ln (e^{\frac{3}{2}}))$

Этап 8

Развернем $\ln (e^{\frac{3}{2}})$ , вынося $\frac{3}{2}$ из логарифма.

$\frac{1}{2} (3 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (z) + \frac{3}{2} \ln (e))$

Этап 9

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (z) + \frac{3}{2} \cdot 1)$

Этап 10

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} (3 \ln (x) + 2 \ln (y) + \ln (z) + \frac{3}{2})$

Этап 11

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (3 \ln (x)) + \frac{1}{2} (2 \ln (y)) + \frac{1}{2} \ln (z) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $\frac{1}{2} (3 \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \ln (x) + \frac{1}{2} (2 \ln (y)) + \frac{1}{2} \ln (z) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 12.1.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{3 \ln (x)}{2} + \frac{1}{2} (2 \ln (y)) + \frac{1}{2} \ln (z) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 12.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \ln (y)$ .

$\frac{3 \ln (x)}{2} + \frac{1}{2} (2 (\ln (y))) + \frac{1}{2} \ln (z) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \ln (x)}{2} + \frac{1}{2} (2 \ln (y)) + \frac{1}{2} \ln (z) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \ln (x)}{2} + \ln (y) + \frac{1}{2} \ln (z) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 12.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (z)$ .

$\frac{3 \ln (x)}{2} + \ln (y) + \frac{\ln (z)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Этап 12.4

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \ln (x)}{2} + \ln (y) + \frac{\ln (z)}{2} + \frac{3}{2 \cdot 2}$

Этап 12.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{3 \ln (x)}{2} + \ln (y) + \frac{\ln (z)}{2} + \frac{3}{4}$