Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \log_{5} (y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\log_{5} (y) = x$ .

$\log_{5} (y) = x$

Этап 2.2

Перепишем $\log_{5} (y) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$5^{x} = y$

Этап 2.3

Перепишем уравнение в виде $y = 5^{x}$ .

$y = 5^{x}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = 5^{x}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = 5^{x}$ обратной к $f (x) = \log_{5} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\log_{5} (x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{5} (x)) = 5^{\log_{5} (x)}$

Этап 4.2.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f^{- 1} (\log_{5} (x)) = x$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (5^{x})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (5^{x}) = \log_{5} (5^{x})$

Этап 4.3.3

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $x$ из степени.

$f (5^{x}) = x \log_{5} (5)$

Этап 4.3.4

Логарифм $5$ по основанию $5$ равен $1$ .

$f (5^{x}) = x \cdot 1$

Этап 4.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$f (5^{x}) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = 5^{x}$ — обратная к $f (x) = \log_{5} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 5^{x}$