Основы мат. анализа Примеры

$\frac{(x^{2} - 9 x)}{x - 5} < 0$

Этап 1

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x^{2} - 9 x = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x - 9 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 9 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 9 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 9$ .

$x (x - 9) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 9 = 0$

Этап 4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Приравняем $x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 9$ к $0$ .

$x - 9 = 0$

Этап 5.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x = 9$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 9) = 0$ верно.

$x = 0, 9$

Этап 7

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 8

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 0, 9$

$x = 5$

Этап 9

Объединим решения.

$x = 0, 9, 5$

Этап 10

Найдем область определения $\frac{x^{2} - 9 x}{x - 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Зададим знаменатель в $\frac{x^{2} - 9 x}{x - 5}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x - 5 = 0$

Этап 10.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 10.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 11

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 5$

$5 < x < 9$

$x > 9$

Этап 12

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 12.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(- 2)}^{2} - 9 \cdot - 2}{(- 2) - 5} < 0$

Этап 12.1.3

Левая часть $- 3.\overline{142857}$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 5$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 12.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(2)}^{2} - 9 \cdot 2}{(2) - 5} < 0$

Этап 12.2.3

Левая часть $4.\overline{6}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.3

Проверим значение на интервале $5 < x < 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Выберем значение на интервале $5 < x < 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 7$

Этап 12.3.2

Заменим $x$ на $7$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(7)}^{2} - 9 \cdot 7}{(7) - 5} < 0$

Этап 12.3.3

Левая часть $- 7$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 12.4

Проверим значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Выберем значение на интервале $x > 9$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 12$

Этап 12.4.2

Заменим $x$ на $12$ в исходном неравенстве.

$\frac{{(12)}^{2} - 9 \cdot 12}{(12) - 5} < 0$

Этап 12.4.3

Левая часть $5.\overline{142857}$ не меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 12.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Истина

$0 < x < 5$ Ложь

$5 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

$x < 0$ Истина

$0 < x < 5$ Ложь

$5 < x < 9$ Истина

$x > 9$ Ложь

Этап 13

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < 0$ или $5 < x < 9$

Этап 14

Преобразуем неравенство в интервальное представление.

$(- \infty, 0) \cup (5, 9)$

Этап 15