Основы мат. анализа Примеры

$1 + \cot^{2} (- θ) = \csc^{2} (θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$1 + \cot^{2} (- θ)$

Этап 2

Так как $\cot (- θ)$ — нечетная функция, перепишем $\cot (- θ)$ в виде $- \cot (θ)$ .

$1 + {(- \cot (θ))}^{2}$

Этап 3

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $\cot (θ)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$1 + {(- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$1 + {(- 1)}^{2} \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 + 1 \frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Умножим $\frac{{\cos (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$ на $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Этап 4

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}}$

Этап 5.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (θ)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Этап 5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{{\sin (θ)}^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{\sin (θ)}^{2} + (1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{{\sin (θ)}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ в виде $\csc^{2} (θ)$ .

$\csc^{2} (θ)$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$1 + \cot^{2} (- θ) = \csc^{2} (θ)$ — тождество