Основы мат. анализа Примеры

$9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y + 62 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $62$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y = - 62$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $9 y^{2} + 54 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $54$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{27}{9}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $27$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{3}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$d = 3$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $54$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $2916$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $81$ .

$e = 0 - 81$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $81$ из $0$ .

$e = - 81$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Этап 1.3

Подставим $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ вместо $9 y^{2} + 54 y$ в уравнение $9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y = - 62$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81 - x^{2} + 2 x = - 62$

Этап 1.4

Перенесем $- 81$ в правую часть уравнения, прибавив $81$ к обеим частям.

$9 {(y + 3)}^{2} - x^{2} + 2 x = - 62 + 81$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- x^{2} + 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{1}{- 1}$

Этап 1.5.3.2.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Этап 1.5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$d = - 1$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$e = 1$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(x - 1)}^{2} + 1$

Этап 1.6

Подставим $- {(x - 1)}^{2} + 1$ вместо $- x^{2} + 2 x$ в уравнение $9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y = - 62$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} + 1 = - 62 + 81$

Этап 1.7

Перенесем $1$ в правую часть уравнения, прибавив $1$ к обеим частям.

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 62 + 81 - 1$

Этап 1.8

Упростим $- 62 + 81 - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 62$ и $81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 19 - 1$

Этап 1.8.2

Вычтем $1$ из $19$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 18$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $18$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{9 {(y + 3)}^{2}}{18} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y + 3)}^{2}}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{18} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения значений, требуемых для нахождения асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = \sqrt{2}$

$b = 3 \sqrt{2}$

$k = - 3$

$h = 1$

Этап 4

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , так как ветви этой гиперболы направлены вверх и вниз.

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$

Этап 5

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$

Этап 5.2

Упростим $\frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (x - 1) - 3$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 3$

Этап 5.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 3$

Этап 5.2.1.4

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1}{3} - 3$

Этап 5.2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} - 3$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 - 3 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 1 - 9}{3}$

Этап 5.2.5.2

Вычтем $9$ из $- 1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 10}{3}$

Этап 5.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

Этап 6

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$

Этап 6.2

Упростим $- \frac{1}{3} \cdot (x - (1)) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x - 1) - 3$

Этап 6.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot - 1 - 3$

Этап 6.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1 - 3$

Этап 6.2.1.4

Умножим $- \frac{1}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x}{3} + 1 (\frac{1}{3}) - 3$

Этап 6.2.1.4.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} - 3$

Этап 6.2.2

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6.2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Этап 6.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1 - 3 \cdot 3}{3}$

Этап 6.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Умножим $- 3$ на $3$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{1 - 9}{3}$

Этап 6.2.5.2

Вычтем $9$ из $1$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Этап 6.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 7

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{x}{3} - \frac{10}{3}, y = - \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 8

Асимптоты: $y = \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$ и $y = - \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$ .

Асимптоты: $y = \frac{x}{3} - \frac{10}{3}, y = - \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Этап 9