Основы мат. анализа Примеры

$(\frac{102 - 3 q^{2}}{q + 2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ имеет вид $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ , где $f (q) = 102 - 3 q^{2}$ и $g (q) = q + 2$ .

$\frac{(q + 2) \frac{d}{d q} [102 - 3 q^{2}] - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $102 - 3 q^{2}$ по $q$ имеет вид $\frac{d}{d q} [102] + \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]$ .

$\frac{(q + 2) (\frac{d}{d q} [102] + \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $102$ является константой относительно $q$ , производная $102$ относительно $q$ равна $0$ .

$\frac{(q + 2) (0 + \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d q} [- 3 q^{2}]$ .

$\frac{(q + 2) \frac{d}{d q} [- 3 q^{2}] - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $q$ , производная $- 3 q^{2}$ по $q$ равна $- 3 \frac{d}{d q} [q^{2}]$ .

$\frac{(q + 2) (- 3 \frac{d}{d q} [q^{2}]) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ имеет вид $n q^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(q + 2) (- 3 (2 q)) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) \frac{d}{d q} [q + 2]}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $q + 2$ по $q$ имеет вид $\frac{d}{d q} [q] + \frac{d}{d q} [2]$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) (\frac{d}{d q} [q] + \frac{d}{d q} [2])}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ имеет вид $n q^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) (1 + \frac{d}{d q} [2])}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 2.9

Поскольку $2$ является константой относительно $q$ , производная $2$ относительно $q$ равна $0$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) (1 + 0)}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2}) \cdot 1}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 2.10.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(q + 2) (- 6 q) - (102 - 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{q (- 6 q) + 2 (- 6 q) - (102 - 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{q (- 6 q) + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 6 q \cdot q + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $q$ на $q$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $q$ .

$\frac{- 6 (q \cdot q) + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $q$ на $q$ .

$\frac{- 6 q^{2} + 2 (- 6 q) - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 6$ на $2$ .

$\frac{- 6 q^{2} - 12 q - 1 \cdot 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $102$ .

$\frac{- 6 q^{2} - 12 q - 102 - (- 3 q^{2})}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.1.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{- 6 q^{2} - 12 q - 102 + 3 q^{2}}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Добавим $- 6 q^{2}$ и $3 q^{2}$ .

$\frac{- 3 q^{2} - 12 q - 102}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $3$ из $- 3 q^{2} - 12 q - 102$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 q^{2}$ .

$\frac{3 (- q^{2}) - 12 q - 102}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $3$ из $- 12 q$ .

$\frac{3 (- q^{2}) + 3 (- 4 q) - 102}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $3$ из $- 102$ .

$\frac{3 (- q^{2}) + 3 (- 4 q) + 3 (- 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.4.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (- q^{2}) + 3 (- 4 q)$ .

$\frac{3 (- q^{2} - 4 q) + 3 (- 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (- q^{2} - 4 q) + 3 (- 34)$ .

$\frac{3 (- q^{2} - 4 q - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- q^{2}$ .

$\frac{3 (- (q^{2}) - 4 q - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 q$ .

$\frac{3 (- (q^{2}) - (4 q) - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (q^{2}) - (4 q)$ .

$\frac{3 (- (q^{2} + 4 q) - 34)}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.8

Перепишем $- 34$ в виде $- 1 (34)$ .

$\frac{3 (- (q^{2} + 4 q) - 1 (34))}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (q^{2} + 4 q) - 1 (34)$ .

$\frac{3 (- (q^{2} + 4 q + 34))}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.10

Перепишем $- (q^{2} + 4 q + 34)$ в виде $- 1 (q^{2} + 4 q + 34)$ .

$\frac{3 (- 1 (q^{2} + 4 q + 34))}{{(q + 2)}^{2}}$

Этап 3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3 (q^{2} + 4 q + 34)}{{(q + 2)}^{2}}$