Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{9} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = 1$

Этап 1

Вычтем $\frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = 1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Этап 2

Упростим $1 - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{9}{9} - \frac{{(x + 4)}^{2}}{9}$

Этап 2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{9 - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{3^{2} - {(x + 4)}^{2}}{9}$

Этап 2.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = x + 4$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(3 + x + 4) (3 - (x + 4))}{9}$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Добавим $3$ и $4$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - (x + 4))}{9}$

Этап 2.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 1 \cdot 4)}{9}$

Этап 2.2.3.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (3 - x - 4)}{9}$

Этап 2.2.3.4

Вычтем $4$ из $3$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- x - 1)}{9}$

Этап 2.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1)}{9}$

Этап 2.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x) - 1 (1))}{9}$

Этап 2.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- (x + 1))}{9}$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = \frac{(x + 7) (- 1 (x + 1))}{9}$

Этап 2.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16} = - \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $- 16$ .

$- 16 (- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16}) = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим $- 16 (- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{{(y - 2)}^{2}}{16}$ в числитель.

$- 16 \frac{- {(y - 2)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Этап 4.1.1.1.2

Вынесем множитель $16$ из $- 16$ .

$16 (- 1) \frac{- {(y - 2)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Этап 4.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$16 \cdot - 1 \frac{- {(y - 2)}^{2}}{16} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Этап 4.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - {(y - 2)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Этап 4.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 {(y - 2)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Этап 4.1.1.2.2

Умножим ${(y - 2)}^{2}$ на $1$ .

${(y - 2)}^{2} = - 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 16 (- \frac{(x + 7) (x + 1)}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

${(y - 2)}^{2} = 16 \frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$

Этап 4.2.1.2

Объединим $16$ и $\frac{(x + 7) (x + 1)}{9}$ .

${(y - 2)}^{2} = \frac{16 ((x + 7) (x + 1))}{9}$

${(y - 2)}^{2} = \frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$

Этап 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 2 = \pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$

Этап 6

Упростим $\pm \sqrt{\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{16 (x + 7) (x + 1)}{9}$ в виде ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем полную степень ${(2^{2})}^{2}$ из $16 (x + 7) (x + 1)$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{9}}$

Этап 6.1.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}}$

Этап 6.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{{(2^{2})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y - 2 = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x + 7) (x + 1))}$

Этап 6.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y - 2 = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Этап 6.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y - 2 = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(x + 7) (x + 1)}$

Этап 6.4

Объединим $\frac{4}{3}$ и $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ .

$y - 2 = \pm \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Этап 7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y - 2 = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Этап 7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 2$

Этап 7.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y - 2 = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3}$

Этап 7.4

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 2$

Этап 7.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 2$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 2$

$y = \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 2$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x + 7) (x + 1)}}{3} + 2$

Этап 8

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 7) (x + 1)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 7) (x + 1) \geq 0$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 9.2

Приравняем $x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Приравняем $x + 7$ к $0$ .

$x + 7 = 0$

Этап 9.2.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x = - 7$

Этап 9.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 9.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 9.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 7) (x + 1) \geq 0$ верно.

$x = - 7, - 1$

Этап 9.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 1$

$x > - 1$

Этап 9.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 7$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 10$

Этап 9.6.1.2

Заменим $x$ на $- 10$ в исходном неравенстве.

$((- 10) + 7) ((- 10) + 1) \geq 0$

Этап 9.6.1.3

Левая часть $27$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.6.2

Проверим значение на интервале $- 7 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 7 < x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 9.6.2.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$((- 4) + 7) ((- 4) + 1) \geq 0$

Этап 9.6.2.3

Левая часть $- 9$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.6.3

Проверим значение на интервале $x > - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.6.3.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 7) ((0) + 1) \geq 0$

Этап 9.6.3.3

Левая часть $7$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < - 1$ Ложь

$x > - 1$ Истина

$x < - 7$ Истина

$- 7 < x < - 1$ Ложь

$x > - 1$ Истина

Этап 9.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 7$ или $x \geq - 1$

Этап 10

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Этап 11

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Этап 12

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 7] \cup [- 1, \infty), {x | x \leq - 7, x \geq - 1}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Этап 13