Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{81} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{144} = 1$

Этап 1

Добавим $\frac{{(x - 3)}^{2}}{144}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{81} = 1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{144}$

Этап 2

Упростим $1 + \frac{{(x - 3)}^{2}}{144}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{81} = \frac{144}{144} + \frac{{(x - 3)}^{2}}{144}$

Этап 2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{81} = \frac{144 + {(x - 3)}^{2}}{144}$

Этап 2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем ${(x - 3)}^{2}$ в виде $(x - 3) (x - 3)$ .

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{81} = \frac{144 + (x - 3) (x - 3)}{144}$

Этап 2.2.2

Развернем $(x - 3) (x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{81} = \frac{144 + x (x - 3) - 3 (x - 3)}{144}$

Этап 2.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{81} = \frac{144 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)}{144}$

Этап 2.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{81} = \frac{144 + x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{144}$

Этап 2.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{81} = \frac{144 + x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3}{144}$

Этап 2.2.3.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{81} = \frac{144 + x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3}{144}$

Этап 2.2.3.1.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{81} = \frac{144 + x^{2} - 3 x - 3 x + 9}{144}$

Этап 2.2.3.2

Вычтем $3 x$ из $- 3 x$ .

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{81} = \frac{144 + x^{2} - 6 x + 9}{144}$

Этап 2.2.4

Добавим $144$ и $9$ .

$\frac{{(y - 7)}^{2}}{81} = \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

Этап 3

Умножим обе части уравнения на $81$ .

$81 \frac{{(y - 7)}^{2}}{81} = 81 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

Этап 4

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$81 \frac{{(y - 7)}^{2}}{81} = 81 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

Этап 4.1.1.2

Перепишем это выражение.

${(y - 7)}^{2} = 81 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $81 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Вынесем множитель $9$ из $81$ .

${(y - 7)}^{2} = 9 (9) \frac{x^{2} - 6 x + 153}{144}$

Этап 4.2.1.1.2

Вынесем множитель $9$ из $144$ .

${(y - 7)}^{2} = 9 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{9 \cdot 16}$

Этап 4.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

${(y - 7)}^{2} = 9 \cdot 9 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{9 \cdot 16}$

Этап 4.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

${(y - 7)}^{2} = 9 \frac{x^{2} - 6 x + 153}{16}$

Этап 4.2.1.2

Объединим $9$ и $\frac{x^{2} - 6 x + 153}{16}$ .

${(y - 7)}^{2} = \frac{9 (x^{2} - 6 x + 153)}{16}$

Этап 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 7 = \pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 153)}{16}}$

Этап 6

Упростим $\pm \sqrt{\frac{9 (x^{2} - 6 x + 153)}{16}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{9 (x^{2} - 6 x + 153)}{16}$ в виде ${(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 153)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9 (x^{2} - 6 x + 153)$ .

$y - 7 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 153)}{16}}$

Этап 6.1.2

Вынесем полную степень $4^{2}$ из $16$ .

$y - 7 = \pm \sqrt{\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 153)}{4^{2} \cdot 1}}$

Этап 6.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{3^{2} (x^{2} - 6 x + 153)}{4^{2} \cdot 1}$ .

$y - 7 = \pm \sqrt{{(\frac{3}{4})}^{2} (x^{2} - 6 x + 153)}$

Этап 6.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$y - 7 = \pm \frac{3}{4} \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}$

Этап 6.3

Объединим $\frac{3}{4}$ и $\sqrt{x^{2} - 6 x + 153}$ .

$y - 7 = \pm \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4}$

Этап 7

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y - 7 = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4}$

Этап 7.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 7$

Этап 7.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y - 7 = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4}$

Этап 7.4

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 7$

Этап 7.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 7$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 7$

$y = \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 7$

$y = - \frac{3 \sqrt{x^{2} - 6 x + 153}}{4} + 7$

Этап 8

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{x^{2} - 6 x + 153}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x^{2} - 6 x + 153 \geq 0$

Этап 9

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$x^{2} - 6 x + 153 = 0$

Этап 9.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 9.3

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 6$ и $c = 153$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 153)}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 153$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $153$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 612}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.3

Вычтем $612$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 576}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.4

Перепишем $- 576$ в виде $- 1 (576)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 576}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (576)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.7

Перепишем $576$ в виде $24^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.1.9

Перенесем $24$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2 \cdot 1}$

Этап 9.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2}$

Этап 9.4.3

Упростим $\frac{6 \pm 24 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 12 i$

Этап 9.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 153$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $153$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 612}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.3

Вычтем $612$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 576}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.4

Перепишем $- 576$ в виде $- 1 (576)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 576}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (576)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.7

Перепишем $576$ в виде $24^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.1.9

Перенесем $24$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2 \cdot 1}$

Этап 9.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2}$

Этап 9.5.3

Упростим $\frac{6 \pm 24 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 12 i$

Этап 9.5.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 3 + 12 i$

Этап 9.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 153$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 153}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $153$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 612}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.3

Вычтем $612$ из $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 576}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.4

Перепишем $- 576$ в виде $- 1 (576)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 576}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (576)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{576}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.7

Перепишем $576$ в виде $24^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 24}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.1.9

Перенесем $24$ влево от $i$ .

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2 \cdot 1}$

Этап 9.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{6 \pm 24 i}{2}$

Этап 9.6.3

Упростим $\frac{6 \pm 24 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 12 i$

Этап 9.6.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 3 - 12 i$

Этап 9.7

Определим старший коэффициент.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Старший член многочлена — это член с наивысшим показателем степени.

$x^{2}$

Этап 9.7.2

Старший коэффициент многочлена — это коэффициент его старшего члена.

$1$

Этап 9.8

Поскольку реальные пересечения с осью X отсутствуют и старший коэффициент положителен, концы параболы направлены вверх, и $x^{2} - 6 x + 153$ всегда больше $0$ .

Все вещественные числа

Этап 10

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 11

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2] \cup [16, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \leq - 2, y \geq 16}$

Этап 12

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Диапазон: $(- \infty, - 2] \cup [16, \infty), {y | y \leq - 2, y \geq 16}$

Этап 13