Основы мат. анализа Примеры

$(\sqrt{32}, \sqrt{32})$

Этап 1

Преобразуем $(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные $(r, θ)$ , используя формулы перевода.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{{(\sqrt{32})}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$r = \sqrt{{\sqrt{16 (2)}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$r = \sqrt{{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим правило умножения к $4 \sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5

Умножим $16$ на $2$ .

$r = \sqrt{32 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6

Перепишем $32$ в виде $4^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $16$ из $32$ .

$r = \sqrt{32 + {\sqrt{16 (2)}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$r = \sqrt{32 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \sqrt{32 + {(4 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим правило умножения к $4 \sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{32 + 4^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1

Сократим общий множитель.

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9.4.2

Перепишем это выражение.

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9.5

Найдем экспоненту.

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $16$ на $2$ .

$r = \sqrt{32 + 32}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10.2

Добавим $32$ и $32$ .

$r = \sqrt{64}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10.3

Перепишем $64$ в виде $8^{2}$ .

$r = \sqrt{8^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{32}})$

Этап 5

Обратная функция тангенса $1$ равна $θ = 45 °$ .

$r = 8$

$θ = 45 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде $(r, θ)$ .

$(8, 45 °)$