Основы мат. анализа Примеры

$(- 4, \frac{4 π}{3})$

Этап 1

Преобразуем $(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные $(r, θ)$ , используя формулы перевода.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(\frac{4 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{16 + {(\frac{4 π}{3})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{4 π}{3}$ .

$r = \sqrt{16 + \frac{{(4 π)}^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2

Применим правило умножения к $4 π$ .

$r = \sqrt{16 + \frac{4^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 + \frac{4^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{16 + \frac{16 π^{2}}{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4

Возведем $3$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{16 + \frac{16 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5

Чтобы записать $16$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{16 \cdot \frac{9}{9} + \frac{16 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6

Объединим $16$ и $\frac{9}{9}$ .

$r = \sqrt{\frac{16 \cdot 9}{9} + \frac{16 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{\frac{16 \cdot 9 + 16 π^{2}}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8

Вынесем множитель $16$ из $16 \cdot 9 + 16 π^{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{16 (9 + π^{2})}{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9

Перепишем $\sqrt{\frac{16 (9 + π^{2})}{9}}$ в виде $\frac{\sqrt{16 (9 + π^{2})}}{\sqrt{9}}$ .

$r = \frac{\sqrt{16 (9 + π^{2})}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перепишем $16 (9 + π^{2})$ в виде ${(2^{2})}^{2} (9 + π^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{4^{2} (9 + π^{2})}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{{(2^{2})}^{2} (9 + π^{2})}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{{(2^{2})}^{2} (9 + π^{2})}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$r = \frac{2^{2} \sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$r = \frac{4 \sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{4 \sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{9}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$r = \frac{4 \sqrt{9 + π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = \frac{4 \sqrt{9 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{4 \sqrt{9 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{4 \sqrt{9 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \frac{4 \sqrt{9 + π^{2}}}{3}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{4 π}{3}}{- 4})$

Этап 5

Обратная функция тангенса $- \frac{π}{3}$ равна $θ = 133.67929622 °$ .

$r = \frac{4 \sqrt{9 + π^{2}}}{3}$

$θ = 133.67929622 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде $(r, θ)$ .

$(\frac{4 \sqrt{9 + π^{2}}}{3}, 133.67929622 °)$