Основы мат. анализа Примеры

$\sin (θ) \csc (θ) - \cot^{2} (θ) \sin^{2} (θ) = \sin^{2} (θ)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\sin (θ) \csc (θ) - \cot^{2} (θ) \sin^{2} (θ)$

Этап 2

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\sin (θ) \csc (θ) - (\csc^{2} (θ) - 1) \sin^{2} (θ)$

Этап 3

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (θ)$ .

$\sin (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - (\csc^{2} (θ) - 1) \sin^{2} (θ)$

Этап 3.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (θ)$ .

$\sin (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - ({(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2} - 1) \sin^{2} (θ)$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\sin (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - (\frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)} - 1) \sin^{2} (θ)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Сократим общий множитель $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) \frac{1}{\sin (θ)} - (\frac{1^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1) {\sin (θ)}^{2}$

Этап 4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$1 - (\frac{1^{2}}{{\sin (θ)}^{2}} - 1) {\sin (θ)}^{2}$

Этап 4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 - (\frac{1}{{\sin (θ)}^{2}} - 1) {\sin (θ)}^{2}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 + (- \frac{1}{{\sin (θ)}^{2}} - - 1) {\sin (θ)}^{2}$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 + (- \frac{1}{{\sin (θ)}^{2}} + 1) {\sin (θ)}^{2}$

Этап 4.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 - \frac{1}{{\sin (θ)}^{2}} {\sin (θ)}^{2} + 1 {\sin (θ)}^{2}$

Этап 4.1.6

Сократим общий множитель ${\sin (θ)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{{\sin (θ)}^{2}}$ в числитель.

$1 + \frac{- 1}{{\sin (θ)}^{2}} {\sin (θ)}^{2} + 1 {\sin (θ)}^{2}$

Этап 4.1.6.2

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{- 1}{{\sin (θ)}^{2}} {\sin (θ)}^{2} + 1 {\sin (θ)}^{2}$

Этап 4.1.6.3

Перепишем это выражение.

$1 - 1 + 1 {\sin (θ)}^{2}$

Этап 4.1.7

Умножим ${\sin (θ)}^{2}$ на $1$ .

$1 - 1 + {\sin (θ)}^{2}$

Этап 4.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$0 + {\sin (θ)}^{2}$

Этап 4.3

Добавим $0$ и ${\sin (θ)}^{2}$ .

$\sin^{2} (θ)$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\sin (θ) \csc (θ) - \cot^{2} (θ) \sin^{2} (θ) = \sin^{2} (θ)$ — тождество