Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{576} - \frac{y^{2}}{49} = 1$

Этап 1

Вычтем $\frac{x^{2}}{576}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y^{2}}{49} = 1 - \frac{x^{2}}{576}$

Этап 2

Умножим обе части уравнения на $- 49$ .

$- 49 (- \frac{y^{2}}{49}) = - 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$

Этап 3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим $- 49 (- \frac{y^{2}}{49})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель $49$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y^{2}}{49}$ в числитель.

$- 49 \frac{- y^{2}}{49} = - 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$

Этап 3.1.1.1.2

Вынесем множитель $49$ из $- 49$ .

$49 (- 1) \frac{- y^{2}}{49} = - 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$

Этап 3.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$49 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{49} = - 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$

Этап 3.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y^{2} = - 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$

Этап 3.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y^{2} = - 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$

Этап 3.1.1.2.2

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = - 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$

Этап 3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $- 49 (1 - \frac{x^{2}}{576})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = - 49 \cdot 1 - 49 (- \frac{x^{2}}{576})$

Этап 3.2.1.2

Умножим $- 49$ на $1$ .

$y^{2} = - 49 - 49 (- \frac{x^{2}}{576})$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 49 (- \frac{x^{2}}{576})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 49$ .

$y^{2} = - 49 + 49 \frac{x^{2}}{576}$

Этап 3.2.1.3.2

Объединим $49$ и $\frac{x^{2}}{576}$ .

$y^{2} = - 49 + \frac{49 x^{2}}{576}$

Этап 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 49 + \frac{49 x^{2}}{576}}$

Этап 5

Упростим $\pm \sqrt{- 49 + \frac{49 x^{2}}{576}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $49 x^{2}$ в виде ${(7 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 49 + \frac{{(7 x)}^{2}}{576}}$

Этап 5.2

Перепишем $576$ в виде $24^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 49 + \frac{{(7 x)}^{2}}{24^{2}}}$

Этап 5.3

Перепишем $\frac{{(7 x)}^{2}}{24^{2}}$ в виде ${(\frac{7 x}{24})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 49 + {(\frac{7 x}{24})}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 7^{2} + {(\frac{7 x}{24})}^{2}}$

Этап 5.4.2

Изменим порядок $- 7^{2}$ и ${(\frac{7 x}{24})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{7 x}{24})}^{2} - 7^{2}}$

Этап 5.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{7 x}{24}$ и $b = 7$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{7 x}{24} + 7) (\frac{7 x}{24} - 7)}$

Этап 5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $7$ из $\frac{7 x}{24} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Вынесем множитель $7$ из $\frac{7 x}{24}$ .

$y = \pm \sqrt{(7 \frac{x}{24} + 7) (\frac{7 x}{24} - 7)}$

Этап 5.6.1.2

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$y = \pm \sqrt{(7 \frac{x}{24} + 7 (1)) (\frac{7 x}{24} - 7)}$

Этап 5.6.1.3

Вынесем множитель $7$ из $7 \frac{x}{24} + 7 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{7 (\frac{x}{24} + 1) (\frac{7 x}{24} - 7)}$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $7$ из $\frac{7 x}{24} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вынесем множитель $7$ из $\frac{7 x}{24}$ .

$y = \pm \sqrt{7 (\frac{x}{24} + 1) (7 \frac{x}{24} - 7)}$

Этап 5.6.2.2

Вынесем множитель $7$ из $- 7$ .

$y = \pm \sqrt{7 (\frac{x}{24} + 1) (7 \frac{x}{24} + 7 (- 1))}$

Этап 5.6.2.3

Вынесем множитель $7$ из $7 \frac{x}{24} + 7 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{7 (\frac{x}{24} + 1) (7 (\frac{x}{24} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{7 (\frac{x}{24} + 1) \cdot 7 (\frac{x}{24} - 1)}$

Этап 5.6.3

Умножим $7$ на $7$ .

$y = \pm \sqrt{49 (\frac{x}{24} + 1) (\frac{x}{24} - 1)}$

Этап 5.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{49 (\frac{x}{24} + \frac{24}{24}) (\frac{x}{24} - 1)}$

Этап 5.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{49 \frac{x + 24}{24} (\frac{x}{24} - 1)}$

Этап 5.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{24}{24}$ .

$y = \pm \sqrt{49 \frac{x + 24}{24} (\frac{x}{24} - 1 \cdot \frac{24}{24})}$

Этап 5.10

Объединим $- 1$ и $\frac{24}{24}$ .

$y = \pm \sqrt{49 \frac{x + 24}{24} (\frac{x}{24} + \frac{- 1 \cdot 24}{24})}$

Этап 5.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{49 \frac{x + 24}{24} \frac{x - 1 \cdot 24}{24}}$

Этап 5.12

Умножим $- 1$ на $24$ .

$y = \pm \sqrt{49 \frac{x + 24}{24} \frac{x - 24}{24}}$

Этап 5.13

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.1

Объединим $49$ и $\frac{x + 24}{24}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{49 (x + 24)}{24} \cdot \frac{x - 24}{24}}$

Этап 5.13.2

Умножим $\frac{49 (x + 24)}{24}$ на $\frac{x - 24}{24}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{49 (x + 24) (x - 24)}{24 \cdot 24}}$

Этап 5.13.3

Умножим $24$ на $24$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{49 (x + 24) (x - 24)}{576}}$

Этап 5.14

Перепишем $\frac{49 (x + 24) (x - 24)}{576}$ в виде ${(\frac{7}{24})}^{2} ((x + 24) (x - 24))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.14.1

Вынесем полную степень $7^{2}$ из $49 (x + 24) (x - 24)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7^{2} ((x + 24) (x - 24))}{576}}$

Этап 5.14.2

Вынесем полную степень $24^{2}$ из $576$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{7^{2} ((x + 24) (x - 24))}{24^{2} \cdot 1}}$

Этап 5.14.3

Перегруппируем дробь $\frac{7^{2} ((x + 24) (x - 24))}{24^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{7}{24})}^{2} ((x + 24) (x - 24))}$

Этап 5.15

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{7}{24} \sqrt{(x + 24) (x - 24)}$

Этап 5.16

Объединим $\frac{7}{24}$ и $\sqrt{(x + 24) (x - 24)}$ .

$y = \pm \frac{7 \sqrt{(x + 24) (x - 24)}}{24}$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 24) (x - 24)}}{24}$

Этап 6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{7 \sqrt{(x + 24) (x - 24)}}{24}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 24) (x - 24)}}{24}$

$y = - \frac{7 \sqrt{(x + 24) (x - 24)}}{24}$

$y = \frac{7 \sqrt{(x + 24) (x - 24)}}{24}$

$y = - \frac{7 \sqrt{(x + 24) (x - 24)}}{24}$

Этап 7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{(x + 24) (x - 24)}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$(x + 24) (x - 24) \geq 0$

Этап 8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 24 = 0$

$x - 24 = 0$

Этап 8.2

Приравняем $x + 24$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Приравняем $x + 24$ к $0$ .

$x + 24 = 0$

Этап 8.2.2

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$x = - 24$

Этап 8.3

Приравняем $x - 24$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Приравняем $x - 24$ к $0$ .

$x - 24 = 0$

Этап 8.3.2

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$x = 24$

Этап 8.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 24) (x - 24) \geq 0$ верно.

$x = - 24, 24$

Этап 8.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 24$

$- 24 < x < 24$

$x > 24$

Этап 8.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Проверим значение на интервале $x < - 24$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 24$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 26$

Этап 8.6.1.2

Заменим $x$ на $- 26$ в исходном неравенстве.

$((- 26) + 24) ((- 26) - 24) \geq 0$

Этап 8.6.1.3

Левая часть $100$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.6.2

Проверим значение на интервале $- 24 < x < 24$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.2.1

Выберем значение на интервале $- 24 < x < 24$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 8.6.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$((0) + 24) ((0) - 24) \geq 0$

Этап 8.6.2.3

Левая часть $- 576$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 8.6.3

Проверим значение на интервале $x > 24$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 24$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 26$

Этап 8.6.3.2

Заменим $x$ на $26$ в исходном неравенстве.

$((26) + 24) ((26) - 24) \geq 0$

Этап 8.6.3.3

Левая часть $100$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 8.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 24$ Истина

$- 24 < x < 24$ Ложь

$x > 24$ Истина

$x < - 24$ Истина

$- 24 < x < 24$ Ложь

$x > 24$ Истина

Этап 8.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x \leq - 24$ или $x \geq 24$

Этап 9

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 24] \cup [24, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \leq - 24, x \geq 24}$

Этап 10

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \in ℝ}$

Этап 11

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 24] \cup [24, \infty), {x | x \leq - 24, x \geq 24}$

Диапазон: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Этап 12