Основы мат. анализа Примеры

$p = (5, - \frac{π}{6})$

Этап 1

Преобразуем $(x, y)$ из прямоугольных координат в полярные $(r, θ)$ , используя формулы перевода.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 2

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \sqrt{{(5)}^{2} + {(- \frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3

Найдем абсолютную величину полярной координаты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{25 + {(- \frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{π}{6}$ .

$r = \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.2.2

Применим правило умножения к $\frac{π}{6}$ .

$r = \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} (\frac{π^{2}}{6^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} (\frac{π^{2}}{6^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{25 + 1 (\frac{π^{2}}{6^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.4

Умножим $\frac{π^{2}}{6^{2}}$ на $1$ .

$r = \sqrt{25 + \frac{π^{2}}{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.5

Возведем $6$ в степень $2$ .

$r = \sqrt{25 + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.6

Чтобы записать $25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{36}{36}$ .

$r = \sqrt{25 \cdot \frac{36}{36} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.7

Объединим $25$ и $\frac{36}{36}$ .

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 36}{36} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 36 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.8.2

Умножим $25$ на $36$ .

$r = \sqrt{\frac{900 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{900 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.9

Перепишем $\sqrt{\frac{900 + π^{2}}{36}}$ в виде $\frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{\sqrt{36}}$ .

$r = \frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{\sqrt{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{\sqrt{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$r = \frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Этап 4

Заменим $x$ и $y$ фактическими значениями.

$r = \frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- \frac{π}{6}}{5})$

Этап 5

Обратная функция тангенса $- \frac{π}{30}$ равна $θ = 354.02178926 °$ .

$r = \frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{6}$

$θ = 354.02178926 °$

Этап 6

Это результат преобразования в полярные координаты в виде $(r, θ)$ .

$(\frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{6}, 354.02178926 °)$