Основы мат. анализа Примеры

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y + 100 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $100$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- 4 x^{2} + 40 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 4$

$b = 40$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{40}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $40$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $40$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (- 4)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot - 4}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{20}{- 4}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $20$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$d = \frac{4 (5)}{- 4}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$d = - 5$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $40$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot - 4}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 4$ .

$e = 0 - \frac{1600}{- 16}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $1600$ на $- 16$ .

$e = 0 - - 100$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $0$ и $100$ .

$e = 100$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$

Этап 1.3

Подставим $- 4 {(x - 5)}^{2} + 100$ вместо $- 4 x^{2} + 40 x$ в уравнение $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 100 + 25 y^{2} - 100 y = - 100$

Этап 1.4

Перенесем $100$ в правую часть уравнения, прибавив $100$ к обеим частям.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 y^{2} - 100 y = - 100 - 100$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $25 y^{2} - 100 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 100$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 50}{25}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $- 50$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 100$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $10000$ на $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $100$ .

$e = 0 - 100$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $100$ из $0$ .

$e = - 100$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(y - 2)}^{2} - 100$

Этап 1.6

Подставим $25 {(y - 2)}^{2} - 100$ вместо $25 y^{2} - 100 y$ в уравнение $- 4 x^{2} + 40 x + 25 y^{2} - 100 y = - 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} - 100 = - 100 - 100$

Этап 1.7

Перенесем $- 100$ в правую часть уравнения, прибавив $100$ к обеим частям.

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 100 - 100 + 100$

Этап 1.8

Упростим $- 100 - 100 + 100$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вычтем $100$ из $- 100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 200 + 100$

Этап 1.8.2

Добавим $- 200$ и $100$ .

$- 4 {(x - 5)}^{2} + 25 {(y - 2)}^{2} = - 100$

Этап 1.9

Заменим на противоположный знак каждого члена уравнения таким образом, чтобы выражение справа стало положительным.

$4 {(x - 5)}^{2} - 25 {(y - 2)}^{2} = 100$

Этап 1.10

Разделим каждый член на $100$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{4 {(x - 5)}^{2}}{100} - \frac{25 {(y - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Этап 1.11

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{4} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения значений, требуемых для нахождения асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 2$

$h = 5$

Этап 4

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Этап 5

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Этап 5.2

Упростим $\frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = \frac{2}{5} \cdot (x - 5) + 2$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Этап 5.2.1.3

Объединим $\frac{2}{5}$ и $x$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Этап 5.2.1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot (5 (- 1)) + 2$

Этап 5.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 2$

Этап 5.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{2 x}{5} + 2 \cdot - 1 + 2$

Этап 5.2.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 x}{5} - 2 + 2$

Этап 5.2.2

Объединим противоположные члены в $\frac{2 x}{5} - 2 + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 2$ и $2$ .

$y = \frac{2 x}{5} + 0$

Этап 5.2.2.2

Добавим $\frac{2 x}{5}$ и $0$ .

$y = \frac{2 x}{5}$

Этап 6

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$

Этап 6.2

Упростим $- \frac{2}{5} \cdot (x - (5)) + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$y = - \frac{2}{5} \cdot (x - 5) + 2$

Этап 6.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{2}{5} x - \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Этап 6.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{2}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - \frac{2}{5} \cdot - 5 + 2$

Этап 6.2.1.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{5}$ в числитель.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot - 5 + 2$

Этап 6.2.1.4.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 (- 1)) + 2$

Этап 6.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot - 1) + 2$

Этап 6.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} - 2 \cdot - 1 + 2$

Этап 6.2.1.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{5} + 2 + 2$

Этап 6.2.1.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 2 + 2$

Этап 6.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Этап 7

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Этап 8

Асимптоты: $y = \frac{2 x}{5}$ и $y = - \frac{2 x}{5} + 4$ .

Асимптоты: $y = \frac{2 x}{5}, y = - \frac{2 x}{5} + 4$

Этап 9