Основы мат. анализа Примеры

$z^{3} - 1 = 0$

Этап 1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$z^{3} = 1$

Этап 2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$z^{3} - 1 = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$z^{3} - 1^{3} = 0$

Этап 3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = z$ и $b = 1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $z$ на $1$ .

$(z - 1) (z^{2} + z + 1^{2}) = 0$

Этап 3.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$z - 1 = 0$

$z^{2} + z + 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $z - 1$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $z - 1$ к $0$ .

$z - 1 = 0$

Этап 5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$z = 1$

Этап 6

Приравняем $z^{2} + z + 1$ к $0$ , затем решим относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $z^{2} + z + 1$ к $0$ .

$z^{2} + z + 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $z^{2} + z + 1 = 0$ относительно $z$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $z$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$z = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$z = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(z - 1) (z^{2} + z + 1) = 0$ верно.

$z = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$