Основы мат. анализа Примеры

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y + 18 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $18$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $9 x^{2} - 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 9$

$b = - 36$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 36}{2 \cdot 9}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 36$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 (9)}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 9}$

Этап 1.2.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 18}{9}$

Этап 1.2.3.2.2

Сократим общий множитель $- 18$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $- 18$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9}$

Этап 1.2.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 (1)}$

Этап 1.2.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{9 \cdot - 2}{9 \cdot 1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 2}{1}$

Этап 1.2.3.2.2.2.4

Разделим $- 2$ на $1$ .

$d = - 2$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 36)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 36$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{1296}{4 \cdot 9}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $9$ .

$e = 0 - \frac{1296}{36}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $1296$ на $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $36$ .

$e = 0 - 36$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$e = - 36$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36$

Этап 1.3

Подставим $9 {(x - 2)}^{2} - 36$ вместо $9 x^{2} - 36 x$ в уравнение $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - 36 - y^{2} - 6 y = - 18$

Этап 1.4

Перенесем $- 36$ в правую часть уравнения, прибавив $36$ к обеим частям.

$9 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = - 18 + 36$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $- y^{2} - 6 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Этап 1.5.3.2.2

Перепишем $- 1 \cdot - 3$ в виде $- - 3$ .

$d = - - 3$

Этап 1.5.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$d = 3$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $36$ на $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Этап 1.5.4.2.2

Добавим $0$ и $9$ .

$e = 9$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(y + 3)}^{2} + 9$ .

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

Этап 1.6

Подставим $- {(y + 3)}^{2} + 9$ вместо $- y^{2} - 6 y$ в уравнение $9 x^{2} - y^{2} - 36 x - 6 y = - 18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = - 18 + 36$

Этап 1.7

Перенесем $9$ в правую часть уравнения, прибавив $9$ к обеим частям.

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = - 18 + 36 - 9$

Этап 1.8

Упростим $- 18 + 36 - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Добавим $- 18$ и $36$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 18 - 9$

Этап 1.8.2

Вычтем $9$ из $18$ .

$9 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $9$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{9 {(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения значений, требуемых для нахождения асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 1$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

Этап 4

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm 3 \cdot (x - (2)) - 3$

Этап 5

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Избавимся от скобок.

$y = 3 \cdot (x - (2)) - 3$

Этап 5.2

Упростим $3 \cdot (x - (2)) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = 3 \cdot (x - 2) - 3$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 3 x + 3 \cdot - 2 - 3$

Этап 5.2.1.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$y = 3 x - 6 - 3$

Этап 5.2.2

Вычтем $3$ из $- 6$ .

$y = 3 x - 9$

Этап 6

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Избавимся от скобок.

$y = - 3 \cdot (x - (2)) - 3$

Этап 6.2

Упростим $- 3 \cdot (x - (2)) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = - 3 \cdot (x - 2) - 3$

Этап 6.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 3 x - 3 \cdot - 2 - 3$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$y = - 3 x + 6 - 3$

Этап 6.2.2

Вычтем $3$ из $6$ .

$y = - 3 x + 3$

Этап 7

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = 3 x - 9, y = - 3 x + 3$

Этап 8

Асимптоты: $y = 3 x - 9$ и $y = - 3 x + 3$ .

Асимптоты: $y = 3 x - 9, y = - 3 x + 3$

Этап 9