Основы мат. анализа Примеры

$[\begin{array}{c} 3 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Этап 1

Рассмотрим соответствующую схему знаков.

$[\begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array}]$

Этап 2

Используем схему знаков и заданную матрицу, чтобы найти алгебраическое дополнение каждого элемента.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычислим минор элемента $a_{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Минор для $a_{11}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $1$ .

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Этап 2.1.2

Найдем значение определителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{11} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 4$

Этап 2.1.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Умножим $4$ на $3$ .

$a_{11} = 12 - 2 \cdot 4$

Этап 2.1.2.2.1.2

Умножим $- 2$ на $4$ .

$a_{11} = 12 - 8$

Этап 2.1.2.2.2

Вычтем $8$ из $12$ .

$a_{11} = 4$

Этап 2.2

Вычислим минор элемента $a_{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Минор для $a_{12}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Этап 2.2.2

Найдем значение определителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{12} = 4 \cdot 3 - 1 \cdot 4$

Этап 2.2.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Умножим $4$ на $3$ .

$a_{12} = 12 - 1 \cdot 4$

Этап 2.2.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$a_{12} = 12 - 4$

Этап 2.2.2.2.2

Вычтем $4$ из $12$ .

$a_{12} = 8$

Этап 2.3

Вычислим минор элемента $a_{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Минор для $a_{13}$ — это определитель с удаленными строкой $1$ и столбцом $3$ .

$| \begin{array}{c} 4 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.3.2

Найдем значение определителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{13} = 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4$

Этап 2.3.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1.1

Умножим $4$ на $2$ .

$a_{13} = 8 - 1 \cdot 4$

Этап 2.3.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$a_{13} = 8 - 4$

Этап 2.3.2.2.2

Вычтем $4$ из $8$ .

$a_{13} = 4$

Этап 2.4

Вычислим минор элемента $a_{21}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Минор для $a_{21}$ — это определитель с удаленными строкой $2$ и столбцом $1$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} |$

Этап 2.4.2

Найдем значение определителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{21} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 1$

Этап 2.4.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$a_{21} = 6 - 2 \cdot 1$

Этап 2.4.2.2.1.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$a_{21} = 6 - 2$

Этап 2.4.2.2.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$a_{21} = 4$

Этап 2.5

Вычислим минор элемента $a_{22}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Минор для $a_{22}$ — это определитель с удаленными строкой $2$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array} |$

Этап 2.5.2

Найдем значение определителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{22} = 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1$

Этап 2.5.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Умножим $3$ на $3$ .

$a_{22} = 9 - 1 \cdot 1$

Этап 2.5.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$a_{22} = 9 - 1$

Этап 2.5.2.2.2

Вычтем $1$ из $9$ .

$a_{22} = 8$

Этап 2.6

Вычислим минор элемента $a_{23}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Минор для $a_{23}$ — это определитель с удаленными строкой $2$ и столбцом $3$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} |$

Этап 2.6.2

Найдем значение определителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{23} = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$

Этап 2.6.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1.1

Умножим $3$ на $2$ .

$a_{23} = 6 - 1 \cdot 2$

Этап 2.6.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$a_{23} = 6 - 2$

Этап 2.6.2.2.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$a_{23} = 4$

Этап 2.7

Вычислим минор элемента $a_{31}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Минор для $a_{31}$ — это определитель с удаленными строкой $3$ и столбцом $1$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Этап 2.7.2

Найдем значение определителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{31} = 2 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Этап 2.7.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$a_{31} = 8 - 4 \cdot 1$

Этап 2.7.2.2.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a_{31} = 8 - 4$

Этап 2.7.2.2.2

Вычтем $4$ из $8$ .

$a_{31} = 4$

Этап 2.8

Вычислим минор элемента $a_{32}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Минор для $a_{32}$ — это определитель с удаленными строкой $3$ и столбцом $2$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 1 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Этап 2.8.2

Найдем значение определителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{32} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 1$

Этап 2.8.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1.1

Умножим $3$ на $4$ .

$a_{32} = 12 - 4 \cdot 1$

Этап 2.8.2.2.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$a_{32} = 12 - 4$

Этап 2.8.2.2.2

Вычтем $4$ из $12$ .

$a_{32} = 8$

Этап 2.9

Вычислим минор элемента $a_{33}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Минор для $a_{33}$ — это определитель с удаленными строкой $3$ и столбцом $3$ .

$| \begin{array}{c} 3 & 2 \\ 4 & 4 \end{array} |$

Этап 2.9.2

Найдем значение определителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Определитель матрицы $2 \times 2$ можно найти, используя формулу $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$a_{33} = 3 \cdot 4 - 4 \cdot 2$

Этап 2.9.2.2

Упростим определитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.2.1.1

Умножим $3$ на $4$ .

$a_{33} = 12 - 4 \cdot 2$

Этап 2.9.2.2.1.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$a_{33} = 12 - 8$

Этап 2.9.2.2.2

Вычтем $8$ из $12$ .

$a_{33} = 4$

Этап 2.10

Матрица алгебраических дополнений — это матрица миноров с измененным знаком для элементов в позициях $-$ на схеме знаков.

$[\begin{array}{c} 4 & - 8 & 4 \\ - 4 & 8 & - 4 \\ 4 & - 8 & 4 \end{array}]$