Основы мат. анализа Примеры

$y = \tan (\frac{3}{4} x)$

Этап 1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x$ .

$y = \tan (\frac{3 x}{4})$

Этап 2

Вертикальные асимптоты функции $y = \tan (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ для $y = \tan (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = \tan (\frac{3 x}{4})$ . Положив аргумент тангенса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \tan (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = \tan (\frac{3 x}{4})$ .

$\frac{3 x}{4} = - \frac{π}{2}$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Этап 3.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Этап 3.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Этап 3.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $\frac{4}{3} (- \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$x = \frac{4}{3} \cdot \frac{- π}{2}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{- π}{2}$

Этап 3.2.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{- π}{2}$

Этап 3.2.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{3} (- π)$

Этап 3.2.2.1.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $π$ .

$x = - \frac{2 π}{3}$

Этап 4

Приравняем аргумент $\frac{3 x}{4}$ функции тангенса к $\frac{π}{2}$ .

$\frac{3 x}{4} = \frac{π}{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 x}{4} = \frac{4}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{4}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $\frac{4}{3} \cdot \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{π}{2}$

Этап 5.2.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{2}{3} π$

Этап 5.2.2.1.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 6

Основной период $y = \tan (\frac{3 x}{4})$ находится на промежутке $(- \frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3})$ , где $- \frac{2 π}{3}$ и $\frac{2 π}{3}$ являются вертикальными асимптотами.

$(- \frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3})$

Этап 7

Найдем период $\frac{π}{| b |}$ , чтобы найти, где находятся вертикальные асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

$\frac{3}{4}$ приблизительно равно $0.75$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{π}{\frac{3}{4}}$

Этап 7.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$π \frac{4}{3}$

Этап 7.3

Объединим $π$ и $\frac{4}{3}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3}$

Этап 7.4

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Этап 8

Вертикальные асимптоты $y = \tan (\frac{3 x}{4})$ находятся в точках $- \frac{2 π}{3}$ , $\frac{2 π}{3}$ и в каждой точке $\frac{4 π n}{3}$ , где $n$ ― целое число.

$x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}$

Этап 9

У тангенса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = \frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}$ , где $n$ — целое число

Этап 10