Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 8 x^{3} + 5$

Этап 1

Запишем $f (x) = 8 x^{3} + 5$ в виде уравнения.

$y = 8 x^{3} + 5$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = 8 y^{3} + 5$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $8 y^{3} + 5 = x$ .

$8 y^{3} + 5 = x$

Этап 3.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$8 y^{3} = x - 5$

Этап 3.3

Разделим каждый член $8 y^{3} = x - 5$ на $8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $8 y^{3} = x - 5$ на $8$ .

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{- 5}{8}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{- 5}{8}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{8} + \frac{- 5}{8}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = \frac{x}{8} - \frac{5}{8}$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8} - \frac{5}{8}}$

Этап 3.5

Упростим $\sqrt[3]{\frac{x}{8} - \frac{5}{8}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 5}{8}}$

Этап 3.5.2

Перепишем $\frac{x - 5}{8}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{3} (x - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем полную степень $1^{3}$ из $x - 5$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x - 5)}{8}}$

Этап 3.5.2.2

Вынесем полную степень $2^{3}$ из $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x - 5)}{2^{3} \cdot 1}}$

Этап 3.5.2.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{3} (x - 5)}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (x - 5)}$

Этап 3.5.3

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x - 5}$

Этап 3.5.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt[3]{x - 5}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}$ обратной к $f (x) = 8 x^{3} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (8 x^{3} + 5)$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{(8 x^{3} + 5) - 5}}{2}$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вычтем $5$ из $5$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

Этап 5.2.3.2

Добавим $8 x^{3}$ и $0$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Этап 5.2.3.3

Перепишем $8 x^{3}$ в виде ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} + 5) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Этап 5.2.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$f^{- 1} (8 x^{3} + 5) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (8 x^{3} + 5) = \frac{2 x}{2}$

Этап 5.2.4.2

Разделим $x$ на $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} + 5) = x$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2})}^{3} + 5$

Этап 5.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x - 5}}^{3}}{2^{3}}) + 5$

Этап 5.3.3.2

Перепишем ${\sqrt[3]{x - 5}}^{3}$ в виде $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x - 5}$ в виде ${(x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}) = 8 (\frac{{({(x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) + 5$

Этап 5.3.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) + 5$

Этап 5.3.3.2.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x - 5)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) + 5$

Этап 5.3.3.2.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x - 5)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) + 5$

Этап 5.3.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}) = 8 (\frac{x - 5}{2^{3}}) + 5$

Этап 5.3.3.2.5

Упростим.

$f (\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}) = 8 (\frac{x - 5}{2^{3}}) + 5$

Этап 5.3.3.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}) = 8 (\frac{x - 5}{8}) + 5$

Этап 5.3.3.4

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}) = 8 (\frac{x - 5}{8}) + 5$

Этап 5.3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}) = x - 5 + 5$

Этап 5.3.4

Объединим противоположные члены в $x - 5 + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Добавим $- 5$ и $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}) = x + 0$

Этап 5.3.4.2

Добавим $x$ и $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}$ — обратная к $f (x) = 8 x^{3} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{2}$