Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{36} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{36} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{9} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения значений, требуемых для нахождения асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 6$

$b = 3$

$k = 3$

$h = 2$

Этап 4

Асимптоты имеют вид $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , поскольку ветви этой гиперболы направлены влево и вправо.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Этап 5

Упростим, чтобы найти первую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Этап 5.2

Упростим $\frac{1}{2} \cdot (x - (2)) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x - 2) + 3$

Этап 5.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 2 + 3$

Этап 5.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 2 + 3$

Этап 5.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

Этап 5.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Этап 5.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x}{2} - 1 + 3$

Этап 5.2.2

Добавим $- 1$ и $3$ .

$y = \frac{x}{2} + 2$

Этап 6

Упростим, чтобы найти вторую асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Избавимся от скобок.

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x - (2)) + 3$

Этап 6.2

Упростим $- \frac{1}{2} \cdot (x - (2)) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot (x - 2) + 3$

Этап 6.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 2 + 3$

Этап 6.2.1.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 2 + 3$

Этап 6.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot - 2 + 3$

Этап 6.2.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1)) + 3$

Этап 6.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 3$

Этап 6.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{x}{2} - 1 \cdot - 1 + 3$

Этап 6.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - \frac{x}{2} + 1 + 3$

Этап 6.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$y = - \frac{x}{2} + 4$

Этап 7

Эта гипербола имеет две асимптоты.

$y = \frac{x}{2} + 2, y = - \frac{x}{2} + 4$

Этап 8

Асимптоты: $y = \frac{x}{2} + 2$ и $y = - \frac{x}{2} + 4$ .

Асимптоты: $y = \frac{x}{2} + 2, y = - \frac{x}{2} + 4$

Этап 9