Основы мат. анализа Примеры

$\frac{i}{1 + i} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим числитель и знаменатель $\frac{i}{1 + 1 i}$ на комплексно сопряженное $1 + 1 i$ , чтобы сделать знаменатель вещественным.

$\frac{i}{1 + 1 i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{i (1 - i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{i \cdot 1 + i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.2.2

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{i + i (- i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.2.3

Умножим $i (- i)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{i - (i^{1} i)}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.2.3.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{i - (i^{1} i^{1})}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{i - i^{1 + 1}}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{i - i^{2}}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.4.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{i - - 1}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{i + 1}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.2.5

Изменим порядок $i$ и $1$ .

$\frac{1 + i}{(1 + 1 i) (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Развернем $(1 + 1 i) (1 - i)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + i}{1 (1 - i) + 1 i (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i (1 - i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + i}{1 \cdot 1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + i}{1 + 1 (- i) + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + i}{1 - 1 i + 1 i \cdot 1 + 1 i (- i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + i}{1 - 1 i + 1 i + 1 i (- i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + i}{1 - 1 i + 1 i - i i} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.2.5

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1 + i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i)} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.2.6

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1 + i}{1 - 1 i + 1 i - (i^{1} i^{1})} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + i}{1 - 1 i + 1 i - i^{1 + 1}} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + i}{1 - 1 i + 1 i - i^{2}} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.2.9

Добавим $- 1 i$ и $1 i$ .

$\frac{1 + i}{1 + 0 - i^{2}} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.2.10

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1 + i}{1 - i^{2}} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1 + i}{1 - - 1} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 + i}{1 + 1} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + i}{2} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.3

Разобьем дробь $\frac{1 + i}{2}$ на две дроби.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i (1 + i)}{2}$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i \cdot 1 + i i}{2}$

Этап 1.5

Умножим $i$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i + i i}{2}$

Этап 1.6

Умножим $i i$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i + i^{1} i}{2}$

Этап 1.6.2

Возведем $i$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i + i^{1} i^{1}}{2}$

Этап 1.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i + i^{1 + 1}}{2}$

Этап 1.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i + i^{2}}{2}$

Этап 1.7

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{i - 1}{2}$

Этап 1.8

Изменим порядок $i$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{- 1 + i}{2}$

Этап 1.9

Разобьем дробь $\frac{- 1 + i}{2}$ на две дроби.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} + \frac{- 1}{2} + \frac{i}{2}$

Этап 1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} + \frac{i}{2} - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

Этап 2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + i - 1 + i}{2}$

Этап 3

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + i + i}{2}$

Этап 4

Добавим $0$ и $i$ .

$\frac{i + i}{2}$

Этап 5

Добавим $i$ и $i$ .

$\frac{2 i}{2}$

Этап 6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 i}{2}$

Этап 6.2

Разделим $i$ на $1$ .

$i$