Основы мат. анализа Примеры

${(\cos (\frac{2 π}{7}) + i \sin (\frac{2 π}{7}))}^{5}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем значение $\cos (\frac{2 π}{7})$ .

${(0.6234898 + i \sin (\frac{2 π}{7}))}^{5}$

Этап 1.2

Найдем значение $\sin (\frac{2 π}{7})$ .

${(0.6234898 + i \cdot 0.78183148)}^{5}$

Этап 1.3

Перенесем $0.78183148$ влево от $i$ .

${(0.6234898 + 0.78183148 i)}^{5}$

Этап 2

Воспользуемся бином Ньютона.

${0.6234898}^{5} + 5 \cdot {0.6234898}^{4} (0.78183148 i) + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Возведем $0.6234898$ в степень $5$ .

$0.09422079 + 5 \cdot {0.6234898}^{4} (0.78183148 i) + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.2

Возведем $0.6234898$ в степень $4$ .

$0.09422079 + 5 \cdot 0.15111842 (0.78183148 i) + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.3

Умножим $5$ на $0.15111842$ .

$0.09422079 + 0.75559212 (0.78183148 i) + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.4

Умножим $0.78183148$ на $0.75559212$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 10 \cdot {0.6234898}^{3} {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.5

Возведем $0.6234898$ в степень $3$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 10 \cdot 0.24237513 {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.6

Умножим $10$ на $0.24237513$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 {(0.78183148 i)}^{2} + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.7

Применим правило умножения к $0.78183148 i$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 ({0.78183148}^{2} i^{2}) + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.8

Возведем $0.78183148$ в степень $2$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 (0.61126046 i^{2}) + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.9

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 (0.61126046 \cdot - 1) + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.10

Умножим $2.42375134 (0.61126046 \cdot - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.10.1

Умножим $0.61126046$ на $- 1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i + 2.42375134 \cdot - 0.61126046 + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.10.2

Умножим $2.42375134$ на $- 0.61126046$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 10 \cdot {0.6234898}^{2} {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.11

Возведем $0.6234898$ в степень $2$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 10 \cdot 0.38873953 {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.12

Умножим $10$ на $0.38873953$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 {(0.78183148 i)}^{3} + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.13

Применим правило умножения к $0.78183148 i$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 ({0.78183148}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.14

Возведем $0.78183148$ в степень $3$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (0.47790267 i^{3}) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.15

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (0.47790267 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.16

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (0.47790267 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.17

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (0.47790267 (- i)) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.18

Умножим $- 1$ на $0.47790267$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 + 3.88739533 (- 0.47790267 i) + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.19

Умножим $- 0.47790267$ на $3.88739533$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 5 \cdot 0.6234898 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.20

Умножим $5$ на $0.6234898$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 {(0.78183148 i)}^{4} + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.21

Применим правило умножения к $0.78183148 i$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 ({0.78183148}^{4} i^{4}) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.22

Возведем $0.78183148$ в степень $4$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 (0.37363935 i^{4}) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.23

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.23.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 (0.37363935 {(i^{2})}^{2}) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.23.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 (0.37363935 {(- 1)}^{2}) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.23.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 (0.37363935 \cdot 1) + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.24

Умножим $3.117449 (0.37363935 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.24.1

Умножим $0.37363935$ на $1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 3.117449 \cdot 0.37363935 + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.24.2

Умножим $3.117449$ на $0.37363935$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + {(0.78183148 i)}^{5}$

Этап 3.1.25

Применим правило умножения к $0.78183148 i$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + {0.78183148}^{5} i^{5}$

Этап 3.1.26

Возведем $0.78183148$ в степень $5$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 i^{5}$

Этап 3.1.27

Вынесем $i^{4}$ за скобки.

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 (i^{4} i)$

Этап 3.1.28

Перепишем $i^{4}$ в виде $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.28.1

Перепишем $i^{4}$ в виде ${(i^{2})}^{2}$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 ({(i^{2})}^{2} i)$

Этап 3.1.28.2

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 ({(- 1)}^{2} i)$

Этап 3.1.28.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 (1 i)$

Этап 3.1.29

Умножим $i$ на $1$ .

$0.09422079 + 0.5907457 i - 1.48154337 - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 i$

Этап 3.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1.48154337$ из $0.09422079$ .

$- 1.38732258 + 0.5907457 i - 1.85779663 i + 1.16480164 + 0.29212301 i$

Этап 3.2.2

Добавим $- 1.38732258$ и $1.16480164$ .

$- 0.22252093 + 0.5907457 i - 1.85779663 i + 0.29212301 i$

Этап 3.2.3

Вычтем $1.85779663 i$ из $0.5907457 i$ .

$- 0.22252093 - 1.26705092 i + 0.29212301 i$

Этап 3.2.4

Добавим $- 1.26705092 i$ и $0.29212301 i$ .

$- 0.22252093 - 0.97492791 i$

Этап 4

Это тригонометрическая форма комплексного числа, где $| z |$ — модуль, а $θ$ — угол радиус-вектора на комплексной плоскости.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Этап 5

Модуль комплексного числа ― это расстояние от начала координат на комплексной плоскости.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , где $z = a + b i$

Этап 6

Подставим фактические значения $a = - 0.22252093$ и $b = - 0.97492791$ .

$| z | = \sqrt{{(- 0.97492791)}^{2} + {(- 0.22252093)}^{2}}$

Этап 7

Найдем $| z |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возведем $- 0.97492791$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0.95048443 + {(- 0.22252093)}^{2}}$

Этап 7.2

Возведем $- 0.22252093$ в степень $2$ .

$| z | = \sqrt{0.95048443 + 0.04951556}$

Этап 7.3

Добавим $0.95048443$ и $0.04951556$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Этап 7.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Этап 7.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$| z | = 1$

Этап 8

Угол точки на комплексной плоскости равен обратному тангенсу мнимой части, поделенной на вещественную часть.

$θ = \arctan (\frac{- 0.97492791}{- 0.22252093})$

Этап 9

Поскольку обратный тангенс $\frac{- 0.97492791}{- 0.22252093}$ дает угол в третьем квадранте, значение угла равно $\frac{10 π}{7}$ .

$θ = \frac{10 π}{7}$

Этап 10

Подставим значения $θ = \frac{10 π}{7}$ и $| z | = 1$ .

$1 (\cos (\frac{10 π}{7}) + i \sin (\frac{10 π}{7}))$