Основы мат. анализа Примеры

${(4 (\cos (15 °) + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Точное значение $\cos (15 °)$ : $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

${(4 (\cos (45 - 30) + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1.1.2

Выделим отрицательную часть.

${(4 (\cos (45 - (30)) + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1.1.3

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

${(4 (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1.1.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1.1.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1.1.6

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1.1.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

${(4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1.1.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(4 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1.1.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

${(4 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1.1.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

${(4 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1.1.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

${(4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1.1.8.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

${(4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1.1.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

${(4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1.1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (15 °)))}^{4}$

Этап 1.2

Точное значение $\sin (15 °)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - 30)))}^{4}$

Этап 1.2.2

Выделим отрицательную часть.

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - (30))))}^{4}$

Этап 1.2.3

Применим формулу для разности углов.

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))))}^{4}$

Этап 1.2.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))))}^{4}$

Этап 1.2.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))))}^{4}$

Этап 1.2.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))))}^{4}$

Этап 1.2.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{4}$

Этап 1.2.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{4}$

Этап 1.2.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{4}$

Этап 1.2.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{4}$

Этап 1.2.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{4}$

Этап 1.2.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})))}^{4}$

Этап 1.2.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})))}^{4}$

Этап 1.2.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}))}^{4}$

Этап 1.3

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

${(4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}))}^{4}$

Этап 2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

${(4 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4})}^{4}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

${(4 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4})}^{4}$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

${(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{4}$