Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{49} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{49} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 2$

$b = 7$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(7)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + {(7)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$\sqrt{4 + 49}$

Этап 4.3.3

Добавим $4$ и $49$ .

$\sqrt{53}$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\sqrt{53}, 0)$

Этап 5.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 5.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \sqrt{53}, 0)$

Этап 5.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(\sqrt{53}, 0), (- \sqrt{53}, 0)$

Этап 6