Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

Этап 1

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 5$

$b = 2 \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем расстояние от центра до фокуса гиперболы, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Этап 4.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Этап 4.3.1.2

Применим правило умножения к $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{25 + 2^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.3.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 4.3.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.3.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.3.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sqrt{25 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 2^{1}}$

Этап 4.3.2.5

Найдем экспоненту.

$\sqrt{25 + 4 \cdot 2}$

Этап 4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\sqrt{25 + 8}$

Этап 4.3.3.2

Добавим $25$ и $8$ .

$\sqrt{33}$

Этап 5

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Первый фокус гиперболы можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 5.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(\sqrt{33}, 0)$

Этап 5.3

Второй фокус гиперболы можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 5.4

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- \sqrt{33}, 0)$

Этап 5.5

Фокусы гиперболы имеют вид $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Гиперболы имеют два фокуса.

$(\sqrt{33}, 0), (- \sqrt{33}, 0)$

Этап 6