Основы мат. анализа Примеры

${(3 k - y)}^{5}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(3 k - y)}^{5}$ $n = 5$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $6$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $3 k$ и $b$ $- y$ в выражение.

$1 {(3 k)}^{5} {(- y)}^{0} + 5 {(3 k)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(3 k)}^{5}$ на $1$ .

${(3 k)}^{5} {(- y)}^{0} + 5 {(3 k)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $3 k$ .

$3^{5} k^{5} {(- y)}^{0} + 5 {(3 k)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.3

Возведем $3$ в степень $5$ .

$243 k^{5} {(- y)}^{0} + 5 {(3 k)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.4

Применим правило умножения к $- y$ .

$243 k^{5} ({(- 1)}^{0} y^{0}) + 5 {(3 k)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$243 \cdot {(- 1)}^{0} k^{5} y^{0} + 5 {(3 k)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$243 \cdot 1 k^{5} y^{0} + 5 {(3 k)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.7

Умножим $243$ на $1$ .

$243 k^{5} y^{0} + 5 {(3 k)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$243 k^{5} \cdot 1 + 5 {(3 k)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.9

Умножим $243$ на $1$ .

$243 k^{5} + 5 {(3 k)}^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.10

Применим правило умножения к $3 k$ .

$243 k^{5} + 5 (3^{4} k^{4}) {(- y)}^{1} + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.11

Возведем $3$ в степень $4$ .

$243 k^{5} + 5 (81 k^{4}) {(- y)}^{1} + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.12

Умножим $81$ на $5$ .

$243 k^{5} + 405 k^{4} {(- y)}^{1} + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.13

Упростим.

$243 k^{5} + 405 k^{4} (- y) + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$243 k^{5} + 405 \cdot - 1 k^{4} y + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.15

Умножим $405$ на $- 1$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 10 {(3 k)}^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.16

Применим правило умножения к $3 k$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 10 (3^{3} k^{3}) {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.17

Возведем $3$ в степень $3$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 10 (27 k^{3}) {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.18

Умножим $27$ на $10$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} {(- y)}^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $- y$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} ({(- 1)}^{2} y^{2}) + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.20

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 \cdot {(- 1)}^{2} k^{3} y^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.21

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 \cdot 1 k^{3} y^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.22

Умножим $270$ на $1$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} + 10 {(3 k)}^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.23

Применим правило умножения к $3 k$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} + 10 (3^{2} k^{2}) {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.24

Возведем $3$ в степень $2$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} + 10 (9 k^{2}) {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.25

Умножим $9$ на $10$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} + 90 k^{2} {(- y)}^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.26

Применим правило умножения к $- y$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} + 90 k^{2} ({(- 1)}^{3} y^{3}) + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.27

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} + 90 \cdot {(- 1)}^{3} k^{2} y^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.28

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} + 90 \cdot - 1 k^{2} y^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.29

Умножим $90$ на $- 1$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 5 {(3 k)}^{1} {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.30

Упростим.

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 5 (3 k) {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.31

Умножим $3$ на $5$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 15 k {(- y)}^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.32

Применим правило умножения к $- y$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 15 k ({(- 1)}^{4} y^{4}) + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.33

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 15 \cdot {(- 1)}^{4} k y^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.34

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 15 \cdot 1 k y^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.35

Умножим $15$ на $1$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 15 k y^{4} + 1 {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.36

Умножим ${(3 k)}^{0}$ на $1$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 15 k y^{4} + {(3 k)}^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.37

Применим правило умножения к $3 k$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 15 k y^{4} + 3^{0} k^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.38

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 15 k y^{4} + 1 k^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.39

Умножим $k^{0}$ на $1$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 15 k y^{4} + k^{0} {(- y)}^{5}$

Этап 4.40

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 15 k y^{4} + 1 {(- y)}^{5}$

Этап 4.41

Умножим ${(- y)}^{5}$ на $1$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 15 k y^{4} + {(- y)}^{5}$

Этап 4.42

Применим правило умножения к $- y$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 15 k y^{4} + {(- 1)}^{5} y^{5}$

Этап 4.43

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$243 k^{5} - 405 k^{4} y + 270 k^{3} y^{2} - 90 k^{2} y^{3} + 15 k y^{4} - y^{5}$