Основы мат. анализа Примеры

${(x + 2 y)}^{7}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

$1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(x + 2 y)}^{7}$ $n = 7$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $8$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$ .

$1 a^{7} b^{0} + 7 a^{6} b + 21 a^{5} b^{2} + 35 a^{4} b^{3} + 35 a^{3} b^{4} + 21 a^{2} b^{5} + 7 a b^{6} + 1 a^{0} b^{7}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $x$ и $b$ $2 y$ в выражение.

$1 {(x)}^{7} {(2 y)}^{0} + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(x)}^{7}$ на $1$ .

${(x)}^{7} {(2 y)}^{0} + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{7} (2^{0} y^{0}) + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2^{0} x^{7} y^{0} + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 x^{7} y^{0} + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.5

Умножим $x^{7}$ на $1$ .

$x^{7} y^{0} + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{7} \cdot 1 + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.7

Умножим $x^{7}$ на $1$ .

$x^{7} + 7 {(x)}^{6} {(2 y)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.8

Упростим.

$x^{7} + 7 x^{6} (2 y) + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{7} + 7 \cdot 2 x^{6} y + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.10

Умножим $7$ на $2$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 21 {(x)}^{5} {(2 y)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.11

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 21 x^{5} (2^{2} y^{2}) + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 21 \cdot 2^{2} x^{5} y^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 21 \cdot 4 x^{5} y^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.14

Умножим $21$ на $4$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2 y)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.15

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 35 x^{4} (2^{3} y^{3}) + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.16

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 35 \cdot 2^{3} x^{4} y^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.17

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 35 \cdot 8 x^{4} y^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.18

Умножим $35$ на $8$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2 y)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.19

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 35 x^{3} (2^{4} y^{4}) + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.20

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 35 \cdot 2^{4} x^{3} y^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.21

Возведем $2$ в степень $4$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 35 \cdot 16 x^{3} y^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.22

Умножим $35$ на $16$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2 y)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.23

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 21 x^{2} (2^{5} y^{5}) + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.24

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 21 \cdot 2^{5} x^{2} y^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.25

Возведем $2$ в степень $5$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 21 \cdot 32 x^{2} y^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.26

Умножим $21$ на $32$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.27

Упростим.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 7 x {(2 y)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.28

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 7 x (2^{6} y^{6}) + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.29

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 7 \cdot 2^{6} x y^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.30

Возведем $2$ в степень $6$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 7 \cdot 64 x y^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.31

Умножим $7$ на $64$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 448 x y^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.32

Умножим ${(x)}^{0}$ на $1$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 448 x y^{6} + {(x)}^{0} {(2 y)}^{7}$

Этап 4.33

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 448 x y^{6} + 1 {(2 y)}^{7}$

Этап 4.34

Умножим ${(2 y)}^{7}$ на $1$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 448 x y^{6} + {(2 y)}^{7}$

Этап 4.35

Применим правило умножения к $2 y$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 448 x y^{6} + 2^{7} y^{7}$

Этап 4.36

Возведем $2$ в степень $7$ .

$x^{7} + 14 x^{6} y + 84 x^{5} y^{2} + 280 x^{4} y^{3} + 560 x^{3} y^{4} + 672 x^{2} y^{5} + 448 x y^{6} + 128 y^{7}$