Основы мат. анализа Примеры

${(x - 9)}^{5}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(x - 9)}^{5}$ $n = 5$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $6$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $x$ и $b$ $- 9$ в выражение.

$1 {(x)}^{5} {(- 9)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 9)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 9)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 9)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 9)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 9)}^{5}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(x)}^{5}$ на $1$ .

${(x)}^{5} {(- 9)}^{0} + 5 {(x)}^{4} {(- 9)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 9)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 9)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 9)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 9)}^{5}$

Этап 4.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{5} \cdot 1 + 5 {(x)}^{4} {(- 9)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 9)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 9)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 9)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 9)}^{5}$

Этап 4.3

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$x^{5} + 5 {(x)}^{4} {(- 9)}^{1} + 10 {(x)}^{3} {(- 9)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 9)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 9)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 9)}^{5}$

Этап 4.4

Найдем экспоненту.

$x^{5} + 5 x^{4} \cdot - 9 + 10 {(x)}^{3} {(- 9)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 9)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 9)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 9)}^{5}$

Этап 4.5

Умножим $- 9$ на $5$ .

$x^{5} - 45 x^{4} + 10 {(x)}^{3} {(- 9)}^{2} + 10 {(x)}^{2} {(- 9)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 9)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 9)}^{5}$

Этап 4.6

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$x^{5} - 45 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 81 + 10 {(x)}^{2} {(- 9)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 9)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 9)}^{5}$

Этап 4.7

Умножим $81$ на $10$ .

$x^{5} - 45 x^{4} + 810 x^{3} + 10 {(x)}^{2} {(- 9)}^{3} + 5 {(x)}^{1} {(- 9)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 9)}^{5}$

Этап 4.8

Возведем $- 9$ в степень $3$ .

$x^{5} - 45 x^{4} + 810 x^{3} + 10 x^{2} \cdot - 729 + 5 {(x)}^{1} {(- 9)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 9)}^{5}$

Этап 4.9

Умножим $- 729$ на $10$ .

$x^{5} - 45 x^{4} + 810 x^{3} - 7290 x^{2} + 5 {(x)}^{1} {(- 9)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 9)}^{5}$

Этап 4.10

Упростим.

$x^{5} - 45 x^{4} + 810 x^{3} - 7290 x^{2} + 5 x {(- 9)}^{4} + 1 {(x)}^{0} {(- 9)}^{5}$

Этап 4.11

Возведем $- 9$ в степень $4$ .

$x^{5} - 45 x^{4} + 810 x^{3} - 7290 x^{2} + 5 x \cdot 6561 + 1 {(x)}^{0} {(- 9)}^{5}$

Этап 4.12

Умножим $6561$ на $5$ .

$x^{5} - 45 x^{4} + 810 x^{3} - 7290 x^{2} + 32805 x + 1 {(x)}^{0} {(- 9)}^{5}$

Этап 4.13

Умножим ${(x)}^{0}$ на $1$ .

$x^{5} - 45 x^{4} + 810 x^{3} - 7290 x^{2} + 32805 x + {(x)}^{0} {(- 9)}^{5}$

Этап 4.14

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x^{5} - 45 x^{4} + 810 x^{3} - 7290 x^{2} + 32805 x + 1 {(- 9)}^{5}$

Этап 4.15

Умножим ${(- 9)}^{5}$ на $1$ .

$x^{5} - 45 x^{4} + 810 x^{3} - 7290 x^{2} + 32805 x + {(- 9)}^{5}$

Этап 4.16

Возведем $- 9$ в степень $5$ .

$x^{5} - 45 x^{4} + 810 x^{3} - 7290 x^{2} + 32805 x - 59049$